marzo 2016 - Matemática y Física

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viernes, 18 de marzo de 2016

Tronco de un cono y área de superficie lateral

Para trabajar con este tema lo primero es conocer el área de superficie lateral de un cono, ya que con este dato podemos adentrarnos al análisis del área de superficie de un tronco de un cono cuyos radios son r, R y cuya altura es Δh=H-h tal como se puede observar en la siguiente gráfica.


Bueno y como podemos observar en la gráfica el área de superficie lateral de un tronco de un cono es igual a la diferencia del cono con radio R y altura H y el cono con radio r y altura h.
Como ya hemos visto en el tema [Área de superficie lateral de un cono], el área de superficie lateral de un cono es igual a:

Y simplemente le restamos al área de superficie lateral Acg del cono con radio y altura R y H respectivamente el área de superficie lateral Acp del cono con radio y altura r y h respectivamente, todo el proceso de obtención del área de superficie lateral de un tronco {At} de un cono se muestra a continuación.

Y el área de superficie de un tronco de un cono con radios r y R, y altura del cono si no tuviera truncado H , y la altura del cono que resulta del truncamiento h es.

Y el área de superficie de un tronco de un cono en función de los radios r y R del tronco del cono y las generatriz que forma el cono antes de truncarse g1 y la generatriz del cono una vez truncado g2

Pero como se puede observar esta fórmulas no son muy prácticas ya que la altura h y H no son elementos visibles que podamos medir de un tronco de un cono, por lo que la fórmula que vamos a deducir involucra los elementos que se pueden medir como son r, R y Δh=H-h, para este proceso nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.

Y de estas gráfica nos guiaremos para relacionar las alturas H y h con los radios r , R y la altura Δh del tronco del cono para esto usaremos la función trigonométrica tangente [tan(θ)] , todo este proceso se muestra a continuación.


Bueno después de despejar h y H, en dónde tanto h como H la hemos expresado en función de r, R y Δh.

Nos dispondremos a hacer las sustituciones de h y H en la fórmula para el cálculo de un tronco de un cono.

En esta fórmula sustituiremos H y h por su igual tal como se muestra ahora.


Y finalmente después de tantos preámbulos la fórmula para el área de superficie lateral de un tronco de un cono en función de la altura Δh y los radios r y R es.

Que como se puede ver es un compacta y elegante fórmula para el cálculo del área de superficie de un tronco de un cono.
Y como es costumbre en este blog vamos a ver algunos ejemplos con la fórmula que nos permite obtener el área de superficie de un tronco de un cono.
Ejercicio 1
Si la altura y radios de un tronco de un cono son 10cm, 6cm y 3cm respectivamente.¿Cuál es el área de superficie lateral de dicho tronco de cono?

Solución:
Sustituimos los datos r=3cm, R=6cm y Δh=10cm que no da el ejemplo en la fórmula que nos permite calcular el área de superficie de un tronco de cono y procedemos a calcular el área.

Y el área de un tronco de un cono con estas características es de 295.03cm2 aproximadamente.
Ejemplo 2
Si sabemos que el área de superficie lateral de un tronco de un cono es 300cm2, y los radios mayor y menor son 8cm y 2cm respectivamente.¿Cuánto mide la altura Δh de dicho tronco de cono?
Solución:
Como observaremos en el proceso de solución de este ejemplo, sustituiremos los datos que nos brinda el ejemplo en la fórmula para el área de un tronco de un cono, y lo próximo que haremos es despejar la variable Δh de la ecuación que se nos forma tal como se muestra ahora.

Y la altura de un tronco de un cono con las características de este ejemplo es Δh=7.43cm.
Ejemplo 3
¿A que se reduce el área de un tronco de un cono cuando los radios mayor y menor son iguales y diferentes de cero?
Solución:
Mirando la figura de un tronco de cono, a simple vista se puede ver que el tronco de cono se reduce a un cilindro cuando r=R, por tanto la fórmula para el área de superficie de un tronco de un cono también se reduce a la fórmula del área de superficie de un cilindro.


Vea también
Área de superficie lateral de un cono
Ecuación de la circunferencia
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando cálculo integral
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

viernes, 11 de marzo de 2016

Ángulo entre dos rectas que se interceptan

En este artículo vamos a trabajar con el ángulo ubicado entre dos rectas que se interceptan dibujadas en el plano xy, bueno y como ya es una costumbre en este blog vamos a deducir la fórmula para el ángulo entre dos rectas que de hecho debemos decir que dos rectas que se interceptan forman dos ángulo que son suplementarios ya que su suma es de 180 grado.Así en la figura siguiente observamos una gráfica que muestra la intersección de las rectas l1 y l2 y entre ellas se forman los ángulos θa y θb , y el ángulo que forma la recta l1 y l2 con la recta horizontal m es θ1 y θ2 respectivamente, la ecuación matemática de l1 y l2 son [y=m1x+b] y [y=m2x+c] respectivamente.
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En la gráfica se puede observar que el ángulo θa es la diferencia del θ1 y el ángulo θ2, también la pendiente de las rectas l1 y l2 son m1=tan(θ1) y m2=tan(θ2) respectivamente.
Sabiendo esto vamos a usar la identidad trigonométrica tangente de la diferencia de dos ángulos tan(θa)=tan(θ1-θ2) y luego haremos las sustituciones de tan(θ1) y tan(θ2) por m1 y m2 respectivamente, y finalmente vamos a despejar el ángulo θa que es uno de los ángulos localizados entre las rectas l1 y l2, todo este proceso se muestra a continuación.
Nota: aunque en este artículo hablamos de dos ángulos hay que decir que cuando dos rectas se interceptan se forman 4 ángulos los otros dos ángulos son opuestos por el vértice a los ángulos θa y θb respectivamente y miden lo mismo que el ángulo θa y el ángulo θb.  

Y la fórmula matemática que nos permite obtener uno de los ángulos que se forman cuando dos rectas l1 y l2 con pendientes m1 y m2 respectivamente se interceptan donde m1>m2 es.

Ahora bien si ya conocemos el ángulo θa es muy fácil obtener el ángulo θb ya que los ángulos θaθb son suplementarios es decir su suma es de 180º grados, así que con este conocimientos vamos a relacionar los ángulos θaθb mediante la ecuación θa+θb=180º, luego despejaremos el ángulo θb y después sustituiremos la expresión matemática encontrada para θa en este despeje.

Y una de las fórmulas que se puede utilizar para calcular el segundo ángulo que se forma cuando se interceptan dos rectas con pendientes m1 y m2 donde m1>m2 es.

Es importante resaltar que cuando la tangente del ángulo θa es indefinida la expresión para el denominador 1+m1m2 es igual a cero, y el ángulo θa es igual a 90º grado, por lo que si dos rectas que se interceptan en un punto cumplen la condición 1+m1m2=0 entonces dichas rectas son perpendiculares entonces el ángulos o los ángulos que forman estas rectas miden 90 grados.
Si dos rectas que se interceptan son perpendiculares se cumple también que:

También si m1-m2 es igual a cero entonces el ángulo θa que forman las dos rectas que se interceptan en un punto es igual a cero entonces m1=m2, de esto se deprende que si dos rectas tienen la misma o iguales pendientes entonces estas dos rectas son paralelas.

Ya conocemos las fórmulas que nos permiten obtener el ángulo entre dos rectas que se interceptan ahora vamos a ver algunos ejercicios relacionado con este tema.
Ejercicio 1
¿Cuánto miden los ángulos que se forman cuando las rectas [y=x] y [y=2x] se interceptan?
Solución:
Para solucionar este problema usando las fórmulas ya desarrollada en este artículo, tomamos la m1 de la ecuación con mayor pendiente de y=2x es decir m1=2 y m2=1 de la ecuación y=x, y procedemos a hacer las sustituciones de lugar para encontrar uno de estos dos ángulos, luego vamos aprovechar que los dos ángulos son suplementarios para encontrar el otro ángulo.

Y los ángulos que forman estas dos rectas son θa=18.43º y θb=161.57º
Ejercicio 2
Demostrar que la recta [y=(-1/2)x+1] y [y=2x] son ortogonales o perpendiculares.
Solución:
Si la pendientes cumplen la condición 1+m1·m2=0 entonces podemos concluir que las rectas con pendientes m1=2 y m2=-1/2 son perpendiculares.


Y de lo anterior concluimos que las [y=(-1/2)x+1] y [y=2x] son perpendiculares
Ejercicio 3 
Si el ángulo formado por dos rectas que se interceptan mide 45º y la pendiente m1 es m2+3.¿Cúanto mide m1 y m2?
Solución:
Lo primero que tenemos que observar es que el ángulo se encuentra entre dos rectas que se interceptan y que el ángulo que forman es menor que 90º esto nos dice que m1 debe de ser mayor que m2 por tanto tomando m=m2 entonces m1=m+3, hacemos las sustituciones de lugar y procedemos a despejar la variables m.

La ecuación m2+3m-2=0 la solucionamos usando la fórmula general de una ecuación cuadrática.


Y como se puede ver las rectas m1=3.56155 y m2=0.56155 son soluciones de este problema, también las rectas con m1=-0.56155 y m2=-3.56155 son soluciones de este problema.
Vea también
La recta y sus particularidades
Distancia de un punto a otro punto
Distancia de un punto a una recta
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular

viernes, 4 de marzo de 2016

Área de superficie lateral de un cono

Este post viene a traer un tema de geometría elemental, me acuerdo que este tema lo conocí en la escuela primaria, vamos a ver como obtener el área de superficie lateral de un cono, sin lugar a duda el cono es una de la figura geométricas que goza de gran fama en el mundo de la matemáticas.
Para deducir la fórmula que nos permite calcular área superficial lateral de un cono, tomaremos un cono con pared delgada y lo abriremos tal como se muestra en la figura, y como se observa una vez un cono es abierto se forma con el una figura plana conocida como un sector circular.

El radio del sector circular o la generatriz [g] lo podemos obtener por medio del teorema de pitágoras ya que como se puede observar en la figura anterior h, r y g representan las longitudes de un triángulo rectángulo, relacionando la altura y el radio [r] de la base del cono.

Ahora bien la longitud s del arco del sector circular es la misma que la longitud s del círculo de la base del cono, por lo que este dato lo tomaremos para hallar el ángulo central θ que forma el sector circular, este paso es importante ya que este ángulo lo utilizaremos para calcular el área de superficie del cono.

De manera que el área de superficie del cono es igual al área plana del sector circular, por lo que simplemente sustituiremos el ángulo expresado en radianes θ por su igual el proceso se muestra a continuación.

Por lo que las fórmulas que nos permite conocer el área de superficie lateral de un cono en función de su altura h y el radio de la base del cono r o la generatriz g son.

Veamos algunos problemas que pueden ser resueltos usando la expresión matemática o fórmula que permite calcular área superficial de un cono.
Ejemplo 1
Si el área de superficie lateral de un cono es 80cm2 y el radio de la base de dicho cono es 4cm.¿Cuánto mide la altura de este cono?

Solución:
Basándonos en los datos del problema tomaremos la fórmula que nos permite calcular el área de superficie lateral de un cono que relaciona la altura h, el radio r y el área de la superficie Lateral A, procederemos a sustituir estos datos en dicha fórmula y luego despejaremos la altura h del cono todo este proceso se desglosa a continuación.

Y la altura de este cono es de 4.95cm 
Ejemplo 2.
¿Cuánto mide el borde o generatriz g de un cono, si el radio de la base y la altura de dicho cono son 3 y 4cm respectivamente?

Solución:
como se puede ver en la figura la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo por que usaremos el teorema de pitágoras para calcular la generatriz de este cono.

Y como se pudo calcular la generatriz de un como como el descrito en este problema es de 5cm.
Ejemplo 3
a) ¿A que figura geométrica se reduce un cono si el radio de la base es cero?
b) ¿A que figura geométrica se reduce un cono si su altura se reduce a cero?
Solución:
a) Si el radio de la base se reduce a cero, entonces el área lateral se reduce a cero y el cono se transforma en una línea que va desde la cúspide del cono hasta el centro del círculo de la base.
A = 0
b) Si la altura del cono se disminuye a cero entonces el área lateral es A=π·r2 que corresponde al área del círculo de la base del cono, por lo que el cono se reduce a un círculo.
Ejemplo 4
Encontrar el radio de la base de un cono si la altura del cono es de 20cm y su área es de 300cm2.

Solución:
Tal como lo hicimos en el ejemplo 1, vamos usar la fórmula que relaciona la altura h, el radio y el área lateral del cono, sustituiremos los datos que nos ofrece el problema en la fórmula que nos permite calcular el área superficial del cono.

Y el resultado de resolver la ecuación de cuarto grado 
r4+400r2-9118.9=0 es r=4.65cm 
Ejemplo 6
¿Cuál es el área superficial lateral de un cono con un generatriz de 10cm y un radio de 5cm?
Solución:
Como el problema involucra el área de superficie lateral que es la incógnita, el radio de la base del cono y la generatriz del cono, entonces vamos a utilizar la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono que relaciona estas variables y luego sustituiremos los datos dados en el problema.

Y el área superficial de este cono es de 157.1cm2.
Ejemplo 7
Encontrar el área de superficie lateral de un cono cuya altura y radio miden 12 y 4cm respectivamente.
Solución:
Para solucionar este problema vamos a utilizar la formula que nos permite calcular el área superficial de un cono que relacionada con el radio y con la altura de dicho cono.

Y el área lateral de superficie de este cono es 158.96cm2
Vea también
Ecuación de la circunferencia
Perímetro y área de un polígono regular.
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas.
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación.
Tronco de un cono y área de superficie lateral