abril 2016 - Matemática y Física

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viernes, 29 de abril de 2016

Desafío de matemática 1

Un ingeniero cuenta con recursos limitados para un proyecto, se le presenta el problema de que se necesita comprar una distancia de un tubo que vaya del punto A al punto B cuya distancia es de10m pasando por un punto C, siguiendo la trayectoria como se ve en la figura. Si el tubo que el ingeniero va a utilizar del punto A al punto C cuesta 200$/m, y el tubo que va a utilizar del punto C al punto B cuesta 100$/m ¿Qué valor de x le permitirá al ingeniero ahorrar dinero ?

Partiendo de la figura lo primero que debemos es encontrar una relación matemática para d1 y d2 ,y los costos c1 y c2 donde c1=200·d1 y c2=100·d2 luego como este es un problema de optimización vamos a encontrar el valor de x que minimiza el costo de la colocación del tubo desde el punto A al punto B siguiendo la trayectoria ACB o BCA dadas las condiciones del problema, para esto vamos a igualar a cero la primera derivada de la suma de los dos costos c1 y c2, luego vamos a resolver la ecuación que se genera para encontrar el valor de x.
1--Como se puede ver en la figura de más arriba la distancia horizontal del punto A al punto B que llamaremos [d] usando el teorema de pitágora es.

2-- Se puede observar partiendo de la figura que d2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 6-x metros, por lo que usando el teorema de pitágora obtenemos d2.

Y el coste de este tubo que es igual al costo por metros (100$/m) multiplicado por la distancia del tubo que va de C a B es

3-- También se puede ver en la figura al principio de este artículo que d1 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y x metros

Y el costo de este tubo que es igual al costo de tubo por metro (200$/m) multiplicado por la distancia del tubo que va del punto A al C es

4-- Si tomamos a [c] como el costo total de tubo que va de A a B pasando por C, entonces el costo total de tubo viene dada por la relación.

5-- Ya conocemos el costo total del tubo en función de x que puede necesitar el ingeniero, ahora vamos a obtener la primera derivada de esta relación, luego la igualaremos a cero.

6-- Por último después de igualar a cero la primera derivada del costo total [c], procedemos a despejar el valor de x que le permitirá al ingeniero saber la posición del punto C que le permitirá ahorrar dinero. 

Y resolviendo la ecuación de cuarto grado
3x4-36x3+88x2+432x-1296=0 por algún método de aproximación tomamos el valor de x igual a 2.8069 ya que las otras soluciones son imaginarias o son negativa.
Por tanto el valor de x que minimiza los costos es x=2.8069m.
Vea también
Reglas básicas de derivación e integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Solución de un ecuación cuadrática

jueves, 21 de abril de 2016

Desafío de física 1

Demostrar que si la constante de resistencia k es igual a cero osea si no hay resistencia entonces las ecuaciones para la posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que cae con resistencia:

se reducen a:
y - y0 = v0·t + (g/2)·t2
vy = v0 + g·t
ay = g
Primero vamos a trabajar con la expresión que permite calcular la posición [y] de un cuerpo en caída libre con constante de resistencia k, para esto usaremos la expansión del polinomio de Taylor de
e-gt/v1 hasta el grado 2 y tomaremos los primeros 3 términos de esta expansión .

Ahora pasamos a sustituir la expresión anterior en la expresión para la posición [y], y debemos tener presente que v1=mg/k.


Ahora vamos a trabajar con la velocidad [vy] de un cuerpo que se mueve con una resistencia cuya constante es k, cuando k se reduce a cero es lo mismo decir cuando no hay resistencia, y nuevamente tomaremos la expansión del polinomio de Taylor de e-gt/v1, en este caso hasta el grado 1, es decir tomaremos solo dos términos.


Por último vamos a trabajar con la expresión para la aceleración de un cuerpo en caída libre con una constante de resistencia al movimiento k, y vamos a ver a que se reduce esta expresión cuando k=0, para esto vamos a tomar nuevamente el polinomio de Taylor hasta el grado 1, es decir vamos a tomar dos términos, teniendo siempre presente que v1=mg/k.

 Y como se pudo observar las expresiones 

se reducen a:
y - y0 = v0·t + (g/2)·t2
vy = v0 + g·t
ay = g
Vea también
Resistencia y movimiento de caída libre 1

martes, 19 de abril de 2016

Raíz cuadrada de un número entero positivo



Bueno en este post vamos a estar hablando de como obtener la raíz cuadrada de un número entero positivo de manera manual es decir sin usar ningún aparato electrónico o informático.
Sin redundar más vamos a sacarle la raíz cuadrada a 198 y al mismo tiempo vamos a ir explicando cada paso.

1-- Dividimos la cantidad subradical en parejas de dos desde la derecha hasta la izquierda.

2-- Buscamos un número que multiplicado por si mismo sea igual o menor que el número correspondiente a la primera pareja tomada de izquierda a derecha y este es el primer dígito de la raíz cuadrada.

3-- Les restamos a la primera pareja [01] tomada de izquierda a derecha el resultado dado en el paso 2.

4-- Ahora bajamos la siguiente y última pareja al lado derecho de la resta efectuada en el paso 3.

5-- Multiplicamos el primer dígito de la raíz cuadrada hallado en el paso 2 por el índice de la raíz y como es una raíz cuadrada el índice es 2.

6-- A el resultado de la multiplicación hecha en el paso 5, le agregamos un número tomado desde 0 hasta 9, de tal manera que cuando multipliquemos este número por el mismo número que le hemos agregado el resultado sea un número menor o igual al número que se formó cuando aplicamos el paso 4 osea 098, y este número es el otro dígito que conformará la raíz cuadrada de 180.

7-- Por último el resultado de la multiplicación hacha en el paso 6 se lo restamos al número que se formó cuando aplicamos el paso 4, si el resultado de esta resta es igual a cero entonces la raíz cuadrada es exacta en caso contrario es inexacta.

8-- Por último confirmamos si la raíz cuadrada obtenida es correcta, para esto elevamos al cuadrado la raíz obtenida y le sumamos el residuo de la resta hecha en el paso 7, esta operación nos debe dar como resultado el radicando o el número al cual le hemos extraído la raíz cuadrada.
(14)2 + 2 = 198

Vamos a aplicar los pasos anteriores para obtener la raíz cuadrada de 3300.

1-- Dividimos la cantidad subradical en parejas de dos desde la derecha hasta la izquierda.

2-- Buscamos un número que multiplicado por si mismo sea igual o menor que el número correspondiente a la primera pareja tomada de izquierda a derecha y este es el primer dígito de la raíz cuadrada.

3-- Les restamos a la primera pareja [33] tomada de izquierda a derecha el resultado dado en el paso 2.

4-- Ahora bajamos la siguiente y última pareja al lado derecho de la resta efectuada en el paso 3.

5-- Multiplicamos el primer dígito de la raíz cuadrada hallado en el paso 2 por el índice de la raíz y como es una raíz cuadrada el índice es 2.

6-- A el resultado de la multiplicación hecha en el paso 5, le agregamos un número tomado desde 0 hasta 9, de tal manera que cuando multipliquemos este número por el mismo número que le hemos agregado el resultado sea un número menor o igual al número que se formó cuando aplicamos el paso 4 osea 0800, y este número es el otro dígito que conformará la raíz cuadrada de 3300.

7-- Por último el resultado de la multiplicación hacha en el paso 6 se lo restamos al número que se formó cuando aplicamos el paso 4, si el resultado de esta resta es igual a cero entonces la raíz cuadrada es exacta en caso contrario es inexacta.

8-- Por último confirmamos si la raíz cuadrada obtenida es correcta, para esto elevamos al cuadrado la raíz obtenida y le sumamos el residuo de la resta hecha en el paso 7, esta operación nos debe dar como resultado el radicando o el número al cual le hemos extraído la raíz cuadrada.
(57)2 + 51 = 3300
Y por tanto 57 es la raíz inexacta de 3300.

lunes, 11 de abril de 2016

Resistencia y movimiento de caída libre 1

En este artículo vamos a estar analizando como se puede calcular la velocidad, la aceleración y el recorrido o distancia de un móvil cuando este se mueve por un fluido o liquido que genera cierta resistencia, aunque un fluido puede causar resistencia al movimiento de una partícula, en el mundo cotidiano encontramos otras formas de resistencia a una partícula u objecto en movimiento, tales como la fricción que experimenta una caja cuando la arrastramos de un punto a otro en una superficie con cierta fricción que se transfiere en resistencia al movimiento de esta caja, otro ejemplo de resistencia al movimiento es el que experimenta un paracaidista cuando abre su paracaída y en este caso en particular esta resistencia aerodinámica que es desarrollada por el paracaída tiende a disminuir la velocidad de descenso del paracaidista y a estabilizar esta velocidad de caída libre.

Las fuerzas que provocan la resistencia a un movimiento de un cuerpo en movimiento en particular son conocidas en física como fuerzas disipadoras de energía ya que la energía que se pierde no se vuelve a recuperar.
Por ejemplo la energía cinética que pierde un paracaidista cuando abre su paracaida es irreversible es decir no puede volverse a recuperar, esto contrario a las fuerzas que son conservadoras de energía tal como la fuerza gravitacional y la fuerza de un resorte en cuyos casos la energía cinética es reversible, por ejemplo cuando lanzamos una pelota hacia arriba la fuerza de gravedad es opuesta al movimiento de esta pelota, lo que causa que esta pelota pierda velocidad hacia arriba y con ello energía cinética, ah pero que sucede que una vez que la velocidad es cero, la velocidad y energía cinética perdida vuelven a recuperarse cuando la bola finalmente empieza a desplazarse hacia abajo, obteniendo la misma velocidad y energía cinética de su punto de partida.

Claro el ejemplo de la pelota que vuelve a recuperar su energía cinética es un caso idealista en el que no se toma en cuenta la resistencia del aire, ya que en el mundo cotidiano la realidad es que el aire que ejerce una resistencia sobre los objectos en caídas libres impide que la energía cinética de partida sea la misma que la de llegada.

Cuando un objecto se mueve con gran velocidad en un fluido la fuerza que experimenta es f=-kv2.
Pero cuando la velocidad no es tan grande la fuerza de resistencia es igual f=-kv.
Así vamos a deducir una expresión para calcular la velocidad, la aceleración y la posición cuando un objecto se mueve por un fluido con baja velocidad y cuando lo hace a una velocidad grande, aunque en este artículo trabajaremos con la parte en que el cuerpo se mueve por un fluido con baja velocidad.

La segunda ley de newton establece que la sumatoria de las fuerzas externas que actúan sobre un objecto es igual a la masa del objecto por la aceleración que este experimenta, si un cuerpo está en caída libre con una resistencia igual f=-kv entonces la segunda ley de newton establece que.

Ahora vamos a resolver la ecuación diferencial que se genera cuando aplicamos la segunda ley de newton, y debemos decir que en este post no entramos en detalles de como solucionamos la ecuación diferencial por lo largo que sería, pero prometemos que un próximo post estaremos hablando de como solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden paso a paso.



Y bueno definiremos mg/k como la velocidad terminal o final que alcanza un móvil cuando se traslada en un fluido es decir v1=mg/k, entonces la expresión que nos permite calcular la velocidad de un objecto que se mueve con resistencia donde k, v1 y v0 son constantes es.

Bueno y esta fórmula la podemos expresar de una forma más compacta donde vy dependa solamente de v0, v1,g y t, para esto
vamos a reacomodar la expresión k/m de la fórmula tal como se muestra a continuación.
 
Y la velocidad en linea recta con resitencia en función de v0, v1 y t es

Y como la velocidad instantánea esta definida como la derivada de la posición respecto del tiempo, lo siguiente es sustituir la expresión encontrada para la velocidad vy=vy' por su igual, luego reacomodar las variables y=y'  y t=t' en los diferentes miembros para luego integrar y' desde y0 hasta y.

Y la posición de un cuerpo que se mueve con resistencia en función de y0, v0, v1 y t es

Y por último vamos a obtener la aceleración, para esto vamos a utilizar el principio matemático que establece que la aceleración es igual a la primera derivada de la velocidad respecto del tiempo, por tanto usaremos la expresión encontrada para la velocidad y la derivaremos respecto de t.

Y la aceleración que experimenta un objecto con cierta resistencia al movimiento dado v0, v1 y t es

En resumen la fórmulas para calcular la posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve con resistencia pero con una baja velocidad son.

La gráfica de la posición {y} contra el tiempo {t} es.

La gráfica de la velocidad {v} contra el tiempo {t} es.

La gráfica de la aceleración {a} contra el tiempo {t} es.

Como es costumbre en este blog vamos a ver algunos problemitas relacionados con el movimiento con resistencia.

Problema 1
Un cuerpo con masa 20kg se mueve con una constante de resistencia de aire de 10kg/s. ¿Que velocidad terminal alcanza este cuerpo?
Solución:
Para solucionar este problema simplemente sustituimos los datos que nos brinda el problema en la fórmula que permite calcular la velocidad terminar de un cuerpo en movimiento cuando experimenta una fuerza de resistencia igual a f=-kv.

y la solución a este problema es una velocidad terminal de 14.7m/s.
Problema 2
¿Cuál es la posición , velocidad y aceleración del cuerpo analizado en el problema 1 en un instante de 3s si el cuerpo se deja caer desde el reposo una altura de 40m ?
Solución:
Del problema anterior sabemos que la velocidad inicial v0 es igual a cero, la velocidad terminal es igual a 14.7m/s, y este problema nos brinda el tiempo t=3s y la altura inicial es y0 =40m desde que  el cuerpo inicia su movimiento,pero tenemos que considerar que si el cuerpo se mueve hacia abajo entonces la posición final es menor que la inicial entonces vamos a tener que [y-y0] es negativo,para solucionar este problema sustituiremos los diferentes datos en la diferentes fórmulas ya desarrollada en este artículo para obtener la posición y=?, la velocidad vy=? y la aceleración ay en un tiempo t=3s, para este cálculo tomaremos la aceleración de la gravedad como g=9.8m/s2.
Calculemos la posición del cuerpo después de 3 segundos.

y la posición es y=14.96m
Ahora calculemos la velocidad después de 3 segundos.

La velocidad después de 3 segundo es de 12.71m/s.
La aceleración después de 3 segundos es.

Y la aceleración después de 3 segundos es de 1.3263m/s2.
Problema de desafío
1--Demostrar que si la constante de resistencia k es igual a cero osea si no hay resistencia entonces las ecuaciones para la posición, la velocidad y la aceleración se reducen a:
y - y0 = v0·t + (g/2)·t2
vy = v0 + g·t
ay = g
ver solución
2--Demostrar que las fórmulas deducidas en este artículo para la posición, la velocidad y la aceleración no funcionan si el cuerpo se mueve hacia arriba.
Ver solución
Vea también
Movimiento rectilíneo
Movimiento circular
Movimiento de proyectiles
Movimiento en dos o tres dimensiones
Reglas básicas de derivación e integración