mayo 2016 - Matemática y Física

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viernes, 20 de mayo de 2016

Simplificación de expresiones radicales

En este post vamos a estar analizando la manera de simplificar expresiones numéricas y algebraicas que involucran radicales para este propósito nos limitaremos a resolver algunos ejercicios en los cuales simplificaremos las expresiones con radicales a una forma simple o simplificada, y sin mucho preámbulos vamos a trabajar en este propósito.
Simplificar las siguientes expresiones con radicales
\(\begin{align*}&1-\:\:\sqrt{\sqrt{2}}= \\ &2-\:\:\sqrt[3]{8}= \\ &3-\:\:2\sqrt{2}+4\sqrt{8}= \\ &4-\:\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}= \\ &5-\:\:\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}= \\ &6-\:\:\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)= \\ &7-\:\:\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Ejercicio 1
\(\sqrt{\sqrt{2}}=\)
Solución:
Primero debemos decir que la raíz de un número \(x\) es \(\sqrt{x}={x}^{\frac{1}{2}}\), y bajo esta notación colocamos las dos raíces cuadradas a las que está sometido el número 2, es decir \(\sqrt{\sqrt{2}}=\left({{2}^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
Ahora pasamos a aplicar la regla de la potenciación que establece que \(\left({{a}^{x}}\right)^{y}={a}^{x \cdot y}\), por tanto 
\(\left({2}^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{4}}\)
De donde \({2}^{\frac{1}{4}}\) es igual a \(\sqrt[4]{2}\)
Por tanto \(\sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}\)
Ejercicio 2
\(\sqrt[3]{8}\)
Solucion :
Primero expresamos \(\sqrt[3]{8}=\) como una potencia es decir \({8}^{\frac{1}{3}}\)
Segundo factorizamos el numero 8 y luego lo expresamos como una potencia es decir \(8=2x2x2={2}^{3}\).
Por ultimo pasmos a simplificar
\(\sqrt[3]{8}=\left({{2}^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}={2}^{3\cdot\frac{1}{3}}={2}^{\frac{3}{3}}={2}^{1}=2\)
Por tanto \(\sqrt[3]{8}=2\)
Ejercicio 3
\(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=\)
Solucion :
En el caso de ejercicio 3 debemos averiguar antes de simplificar si la expresión \(4\sqrt{8}\) la podemos reducir a una expresión que contengan la menor de las dos cantidades subradicales es decir 2, para este propósito descomponemos el 8 en sus factores primos quedándonos así \(8=2x2x2=2x{2}^{2}\), ahora aplicamos la propiedad distributiva de la radicación respecto a la multiplicación y simplificamos 
\(\sqrt{2x{2}^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{{2}^{2}}=2\sqrt{2}\)
Ya tenemos que \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), ya sabiendo esto entonces \(4\sqrt{8}=4\left(2\sqrt{2}\right)=8\sqrt{2}\) por lo que \(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}\) y simplemente sumamos \(2+8\) y le agregamos el radical \(\sqrt{2}\)
Por lo que
\(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)
Ejercicio 4
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Solución:
Para solucionar esta expresión radical lo primero que haremos es aplicar la regla que establece que \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}\) por lo que siguiendo esta regla tenemos \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}\) y la raíz de 16 es 4 es decir \(\sqrt{16}=4\), por lo que entonces la solución al ejercicio 4 es
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=\sqrt{16}=4\end{align*}\)
Ejercicio 5
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=\)
Solución:
Para solucionar este ejercicio aplicamos el cuadrado de la suma de dos cantidades, que es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces se cumple que \(\left({a+b}\right)^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\) Ahora aplicamos esta misma regla al ejercicio 5.
\(a=1\:\:\:b=\sqrt{3}\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=\left({1}\right)^{2}+2\left(1\right)\left(\sqrt{3}\right)+\left({\sqrt{3}}\right)^{2}\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=1+2\sqrt{3}+3\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=4+2\sqrt{3}\)
Ejercicio 6
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)=\)
Solución :
Podemos ver que este ejercicio a simple vista es de un producto notable es decir la suma por la diferencia de dos cantidades, y la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de cuadrado de ambas cantidades, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces \(\left({a+b}\right)\left({a-b}\right)={{a}^{2}-{b}^{2}}\), y aplicando esta misma regla al ejercicio 6 tenemos que:
\(a=2\:\:\: b=\sqrt{7}\)
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)={{2}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}\)
\({{2}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}=4-7=-3\)
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)=-3\)
Ejercicio 7
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Solución :
En este ejercicio vamos a aplicar la regla que establece que \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\), pero para aplicar esta regla debemos colocar el radical del denominador como del numerador con un mismo indice radical, en nuestro caso llevaremos el radical del denominador a que tenga un índice igual a 4, para esto colocamos \(\sqrt{2}\) como una potencia \(\sqrt{2}={2}^{\frac{1}{2}}\) y multiplicamos por 2 el numerador y el denominador del exponente \(\frac{1}{2}\), todo se muestra a continuación.
\(\begin{align*}&{2}^{\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}}={2}^{\frac{2}{4}}=\end{align*}\)
y \({2}^{\frac{2}{4}}\) lo podemos expresar como \(\sqrt[4]{{2}^{2}}\) que es igual a \(\sqrt[4]{4}\), por lo que ahora podemos escribir la expresión del ejercicio 7 así.
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[4]{\frac{8}{4}} \\ &\sqrt[4]{\frac{8}{4}}=\sqrt[4]{2}\end{align*}\)
y la expresión \(\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\) se reduce a \(\sqrt[4]{2}\) es decir
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}\end{align*}\)
Creo que este artículo podría ser ampliado en un futuro incluyendo nuevas expresiones con radicales y sus respectivas soluciones.
Nota: cada una de las soluciones dadas en cada simplificación utiliza una forma personalizada, aunque debemos decir que existen formas diferentes de simplificar las expresiones de más arriba, pero aún usando cualquier método la solución deberá ser la misma 

viernes, 13 de mayo de 2016

Cantidad de baldosas o mosaicos que se requieren para cubrir un área de superficie determinada


En este tema desarrollado para este blog vamos a ver como saber cuántas baldosas o mosaicos se necesitan para cubrir un área de superficie, como muchos de los lectores saben existen superficies que son planas y otras que son esféricas, en este articulo vamos a explicar como averiguar la cantidad de mosaico que se necesitan para cubrir una superficie, este tema cobra importancia cuándo una persona necesita embaldosar un área de superficie plana con algún mosaico de superficie plana con formas rectangulares, cuadrada o esférica entre otras formas que pueden ser irregulares.

1-Si la superficie que se va a embaldosar es rectangular o cuadrada, medimos con algún instrumento de medida el largo y el ancho de dicha superficie.
2- Si la baldosa es rectangular o cuadrada, medimos también el largo y el ancho de dicha baldosa.
3- Calculamos el área de superficie que pretendemos embaldosar, multiplicando el largo por el ancho.
4-Calculamos el área de la baldosa con la que embaldosaremos la superficie del paso 1, y como hemos tomados como referencia una baldosa rectangular o cuadrada multiplicamos el largo por el ancho para obtener el área de dicha baldosa.
Por tanto la cantidad de baldosas o mosaicos que se necesitan para cubrir una superficie es igual al área de la superficie a embaldosar entre el área de superficie de la baldosa o mosaico, si tomamos [n] como el números de baldosas que se necesitan para embaldosar una superficie, [s'] es el área de superficie a embaldosar,  [s] es el área de superficie de la baldosa o mosaico entonces tenemos que.
\(\begin{align*}&n=\frac{s'}{s}\end{align*}\)
Ya dicho todo lo anterior veamos algunos ejemplos que nos permitirán palpar este tema
1** Si una superficie es de 10x5 metros, ¿Cuántas baldosas se necesitan de 20x20 cm para cubrir esta superficie?
Solución :
Primero observamos que la dimensiones de la superficie a embaldosar están en metros, mientras que las dimensiones de la baldosa están en centímetros, así primero transformamos los metros a centímetros aunque podría ser lo contrario.
Una vez hecha la conversión de medida calculamos el área de la superficie a embaldosar s' y el área de superficie de la baldosa s, para así obtener el número n de baldosa que pueden cubrir la superficie a embaldosar.
\(\begin{align*}&10m=\left ( 10m \right )\left({\frac{100cm}{1m}}\right) \\ &10m=\frac{10mx100cm}{1m} \\ &10m=1000cm \\ &5m=\left ( 5m \right )\left({\frac{100cm}{1m}}\right) \\ &5m=\frac{5mx100cm}{1m} \\ &5m=500cm \\ &A=5m=500cm \\ &L=10m=1000cm \\ &A=20cm\:\:\:L=20cm \\ &s'=LxA=1000cmx500cm \\ &s'=LxA=500000{cm}^{2} \\ &s=LxA=20cmx20cm \\ &s=LxA=400{cm}^{2} \\ &n=\frac{s'}{s}=\frac{500000{cm}^{2}}{400{cm}^{2}}=1250 \\ &n=1250\end{align*}\)
Y la cantidad de baldosas necesarias para cubrir una superficie con dimensiones 10x5 m es de 1250 baldosas.
2** ¿Cuál es el área de superficie que se puede cubrir con 40 baldosas de 20x20 cm?
Solución :
Este problema lo podemos solucionar simplemente calculando el área de la baldosa [s] y luego multiplicándola por el número de baldosa n, o simplemente despejamos [s'] de la fórmula que nos permite calcular el número de baldosa que se necesitan para cubrir una superficie s' con una baldosa cuya área es [s].
\(\begin{align*}&n=\frac{s'}{s} \\ &n\left(s\right)=\left(\frac{s'}{s}\right)\left(s\right) \\ &ns=s' \\ &s'=ns \\ &L=20cm\:\:\:A=20cm\:\:\:n=40 \\ &s=20cmx20cm=400{cm}^{2} \\ &s'=ns=\left(40\right)\left(400{cm}^{2}\right) \\ &s'=ns=16000{cm}^{2} \\ &s'=16000{cm}^{2}\end{align*}\)
Y el área que cubren 40 baldosas con dimensiones de 20x20 cm es 16000cm2
3** Para un proyecto de construcción se necesitan mosaicos de forma triangular, la base de dicha baldosa triangular mide 20cm y la altura mide 20cm, la superficie que cubriremos con este mosaico mide 12x4 metros.¿Cuántas mosaicos se requerirán?
Solución:
Primero como las dimensiones de la baldosa vienen dadas en centímetros y la de la superficie a embaldosar en metros debemos convertir los centímetros a metros o viceversa. En nuestro caso convertiremos los metros a centímetros.   
Para solucionar este problema lo primero que haremos es calcular el área de superficie de la baldosa y como es de forma triangular su área será igual a la base multiplicada por la altura partido 2, \(s=\frac{bh}{2}\), en el caso de la superficie a embaldosar nos dan dos dimensiones por lo que suponemos que es una superficie rectangular que calcularemos multiplicando las dos dimensiones, luego usaremos la fórmula que nos permite calcular el número de baldosa.
\(\begin{align*}&20m=\left(20m\right)\left(\frac{100cm}{1m}\right) \\ &20m=\frac{20mx100cm}{1m} \\ &20m=2000cm \\ &4m=\left(4m\right)\left(\frac{100cm}{1m}\right) \\ &4m=\frac{4mx100cm}{1m} \\ &4m=400cm \\ &A=4m=400cm \\ &L=20m=2000cm \\ &b=20cm\:\:\:h=20cm \\ &s'=LxA=2000cmx400cm \\ &s'=LxA=800000{cm}^{2} \\ &s=\frac{bxh}{2}=\frac{20cmx20cm}{2} \\ &s=\frac{bxh}{2}=200{cm}^{2} \\ &n=\frac{s'}{s}=\frac{800000{cm}^{2}}{200{cm}^{2}}=4000 \\ &n=4000\end{align*}\)
Y se necesitan 4000 baldosas o mosaicos de forma triangular para cubrir un área con las dimensiones 20x4 m.
Vea también
Conversión de medidas
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Áreas y perímetros de polígonos regulares 
Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular

viernes, 6 de mayo de 2016

Desafío de física 2

Demostrar que las fórmulas que permiten calcular la posición, la velocidad y la aceleración para un cuerpo que se mueve con resistencia k diferente de cero no funcionan si el cuerpo se mueve hacia arriba.

1-- Teóricamente podemos demostrar que si un cuerpo se mueve hacia arriba siempre la velocidad final o terminal tendrá que ser cero, por tanto hacia arriba no existe una velocidad \(v_{1}=\frac{mg}{k}\) por lo que las fórmulas de más arriba no funcionan bien cuando el cuerpo se mueve hacia arriba
2-- Para esta demostración vamos a partir de la segunda ley de Newton que establece que si un cuerpo se mueve hacia arriba entonces, la fuerza de resistencia de aire \(f=kv\) está dirigida hacia abajo, el peso del cuerpo en movimiento también está dirigido hacia abajo ya que la aceleración de la gravedad actúa hacia abajo, por tanto las sumatorias de estas fuerzas o fuerza resultante también actuará hacia abajo, en la fórmulas anteriores y en el artículo [Resistencia y movimiento de caída libre] se tiene que la velocidad terminar es \(v_{1}=\frac{mg}{k}\), y en las fórmulas anteriores la velocidad terminal se alcanza porque la aceleración en un instante determinado es igual a cero, pero en el caso en que un cuerpo se mueve hacia arriba las  fuerzas peso y resistencia del aire no son fuerzas opuestas por lo que la aceleración nunca será igual a cero, utilizando las fuerzas que actúan en un movimiento hacia arriba y la segunda ley de Newton podemos observar que cuando suponemos que la aceleración es igual a cero el resultado es un valor ficticio de la velocidad terminal \(v_{1}=\frac{-mg}{k}\).
\(\sum F_{y}=-mg-kv_{y}=-ma_{y}\)
\(a_{y}=0\)
\(-mg-kv_{y}=0\)
\(-mg=kv_{y}\)
\(\frac{-mg}{k}=\frac{kv_{y}}{k}\)
\(v_{y}=\frac{-mg}{k}\)
Vea también
Resistencia y movimiento de caída libre 1
Reglas básicas de derivación e integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación