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viernes, 20 de mayo de 2016

Simplificación de expresiones radicales

En este post vamos a estar analizando la manera de simplificar expresiones numéricas y algebraicas que involucran radicales para este propósito nos limitaremos a resolver algunos ejercicios en los cuales simplificaremos las expresiones con radicales a una forma simple o simplificada, y sin mucho preámbulos vamos a trabajar en este propósito.
Simplificar las siguientes expresiones con radicales
\(\begin{align*}&1-\:\:\sqrt{\sqrt{2}}= \\ &2-\:\:\sqrt[3]{8}= \\ &3-\:\:2\sqrt{2}+4\sqrt{8}= \\ &4-\:\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}= \\ &5-\:\:\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}= \\ &6-\:\:\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)= \\ &7-\:\:\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Ejercicio 1
\(\sqrt{\sqrt{2}}=\)
Solución:
Primero debemos decir que la raíz de un número \(x\) es \(\sqrt{x}={x}^{\frac{1}{2}}\), y bajo esta notación colocamos las dos raíces cuadradas a las que está sometido el número 2, es decir \(\sqrt{\sqrt{2}}=\left({{2}^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
Ahora pasamos a aplicar la regla de la potenciación que establece que \(\left({{a}^{x}}\right)^{y}={a}^{x \cdot y}\), por tanto 
\(\left({2}^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{4}}\)
De donde \({2}^{\frac{1}{4}}\) es igual a \(\sqrt[4]{2}\)
Por tanto \(\sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}\)
Ejercicio 2
\(\sqrt[3]{8}\)
Solucion :
Primero expresamos \(\sqrt[3]{8}=\) como una potencia es decir \({8}^{\frac{1}{3}}\)
Segundo factorizamos el numero 8 y luego lo expresamos como una potencia es decir \(8=2x2x2={2}^{3}\).
Por ultimo pasmos a simplificar
\(\sqrt[3]{8}=\left({{2}^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}={2}^{3\cdot\frac{1}{3}}={2}^{\frac{3}{3}}={2}^{1}=2\)
Por tanto \(\sqrt[3]{8}=2\)
Ejercicio 3
\(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=\)
Solucion :
En el caso de ejercicio 3 debemos averiguar antes de simplificar si la expresión \(4\sqrt{8}\) la podemos reducir a una expresión que contengan la menor de las dos cantidades subradicales es decir 2, para este propósito descomponemos el 8 en sus factores primos quedándonos así \(8=2x2x2=2x{2}^{2}\), ahora aplicamos la propiedad distributiva de la radicación respecto a la multiplicación y simplificamos 
\(\sqrt{2x{2}^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{{2}^{2}}=2\sqrt{2}\)
Ya tenemos que \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), ya sabiendo esto entonces \(4\sqrt{8}=4\left(2\sqrt{2}\right)=8\sqrt{2}\) por lo que \(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}\) y simplemente sumamos \(2+8\) y le agregamos el radical \(\sqrt{2}\)
Por lo que
\(2\sqrt{2}+4\sqrt{8}=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)
Ejercicio 4
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Solución:
Para solucionar esta expresión radical lo primero que haremos es aplicar la regla que establece que \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}\) por lo que siguiendo esta regla tenemos \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}\) y la raíz de 16 es 4 es decir \(\sqrt{16}=4\), por lo que entonces la solución al ejercicio 4 es
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=\sqrt{16}=4\end{align*}\)
Ejercicio 5
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=\)
Solución:
Para solucionar este ejercicio aplicamos el cuadrado de la suma de dos cantidades, que es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces se cumple que \(\left({a+b}\right)^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\) Ahora aplicamos esta misma regla al ejercicio 5.
\(a=1\:\:\:b=\sqrt{3}\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=\left({1}\right)^{2}+2\left(1\right)\left(\sqrt{3}\right)+\left({\sqrt{3}}\right)^{2}\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=1+2\sqrt{3}+3\)
\(\left({1+\sqrt{3}}\right)^{2}=4+2\sqrt{3}\)
Ejercicio 6
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)=\)
Solución :
Podemos ver que este ejercicio a simple vista es de un producto notable es decir la suma por la diferencia de dos cantidades, y la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de cuadrado de ambas cantidades, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces \(\left({a+b}\right)\left({a-b}\right)={{a}^{2}-{b}^{2}}\), y aplicando esta misma regla al ejercicio 6 tenemos que:
\(a=2\:\:\: b=\sqrt{7}\)
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)={{2}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}\)
\({{2}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}=4-7=-3\)
\(\left({2+\sqrt{7}}\right)\left({2-\sqrt{7}}\right)=-3\)
Ejercicio 7
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\end{align*}\)
Solución :
En este ejercicio vamos a aplicar la regla que establece que \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\), pero para aplicar esta regla debemos colocar el radical del denominador como del numerador con un mismo indice radical, en nuestro caso llevaremos el radical del denominador a que tenga un índice igual a 4, para esto colocamos \(\sqrt{2}\) como una potencia \(\sqrt{2}={2}^{\frac{1}{2}}\) y multiplicamos por 2 el numerador y el denominador del exponente \(\frac{1}{2}\), todo se muestra a continuación.
\(\begin{align*}&{2}^{\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}}={2}^{\frac{2}{4}}=\end{align*}\)
y \({2}^{\frac{2}{4}}\) lo podemos expresar como \(\sqrt[4]{{2}^{2}}\) que es igual a \(\sqrt[4]{4}\), por lo que ahora podemos escribir la expresión del ejercicio 7 así.
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[4]{\frac{8}{4}} \\ &\sqrt[4]{\frac{8}{4}}=\sqrt[4]{2}\end{align*}\)
y la expresión \(\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\) se reduce a \(\sqrt[4]{2}\) es decir
\(\begin{align*}&\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}\end{align*}\)
Creo que este artículo podría ser ampliado en un futuro incluyendo nuevas expresiones con radicales y sus respectivas soluciones.
Nota: cada una de las soluciones dadas en cada simplificación utiliza una forma personalizada, aunque debemos decir que existen formas diferentes de simplificar las expresiones de más arriba, pero aún usando cualquier método la solución deberá ser la misma