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viernes, 10 de junio de 2016

Técnica de integración por partes

En este post vamos a ver como aplicar la técnica de integración por partes a la resolución de una integrar en donde la mayoría de las veces la función a integrar es una función compuesta de más funciones, lo primero que observaremos es la fórmula que se utiliza a la hora de realizar una integración por partes, si miramos la derivada del producto de dos funciones \(u\) y \(v\) respecto de \(x\) es

Por lo que si integramos ambos lados de la igualdad entonces tendremos que :

Ahora despejamos la expresion integral \(\int_{}u\cdot v' dx\)

Ahora bien si tomamos \(v'dx=dv\) y \(u'dx=du\) entonces vamos a tener que:

Por tanto la expresión matemática que usaremos para integrar por partes va a ser :
 
Para ilustrar mejor la técnica de integración por partes veamos algunos ejercicios resueltos.
Solucionar estas integrales por la técnica de integración por partes

Nota: en la solución de cada uno de estos 3 ejemplos tomamos la constante de integración \(C=0\), aunque usted si así lo desea puede agregarle la constante \(C\) al final de la integración ya que estamos hablando  de integrales indefinidas.
Ejemplo 1
\(\int{}x{e}^{x}dx\)
Primero tomamos \(u=x\) y derivamos \(u=x\) respecto de \(x\), \(\frac{du}{dx}=\frac{dx}{dx}=1\) y luego despejando \(du\), tenemos \(du=dx\), análogamente tomamos \(dv={e}^{x}dx\) y obtenemos el valor de \(v\) integrando \(\int_{}{e}^{x}dx\), y por último sustituimos todos los valores \(u\), \(v\) y \(du\) en la fórmula que nos permite integrar por partes, todo este proceso se muestra a continuación.


Ejemplo 2
\(\int_{}xsinxdx\)
Para resolver esta integrar por partes primero tomaremos \(u=x\) y derivando \(u\) respecto de \(x\) tenemos \(\frac{du}{dx}=\frac{dx}{dx}=1\) y despejando \(du\), \(du=dx\), ahora tomamos \(dv=sinxdx\) e integramos \(\int_{}sinxdx\) para obtener \(v=-cosx\), ya tenemos \(u\), \(v\) y \(du\), lo único que resta es sustituir estos valores en la fórmula para la integración por partes como se muestra a continuación.


Ejemplo 3
\(\int_{}{e}^{x}cosxdx\)
Bueno en el proceso de resolución de esta integral tendremos que hacer dos integraciones por partes.
Primero cogemos  \(u=cosx\) y \(dv={e}^{x}dx\), luego derivamos \(u\) respecto de \(x\) dándonos \(\frac{du}{dx}=-sinx\) e integramos \(dv\) dándonos \(v=\int{}{e}^{x}={e}^{x}\), después de haber obtenido \(u\), \(v\) y \(du\) pasamos a sustituir estos valores en la fórmula de integración por partes.

Para proseguir debemos detenernos un poco para integrar por parte la integral \(\int_{}{e}^{x}sinxdx\), donde tomaremos \(u=sinx\) y \(du=cosxdx\), tomaremos también \(dv={e}^{x}dx\) y \(v=\int_{}{e}^{x}dx={e}^{x}\), ahora sustituimos estos valores en la fórmula de integración por partes.

Y como ya conocemos \(\int_{}{e}^{x}sinxdx\), ahora sustituimos este valor en la integral

Y ahora nos avocamos a conocer el valor de la integral \(\int_{}{e}^{x}cosxdx\).

Ejemplo 4
Utilizar integración por partes para resolver la siguiente integral, sabiendo que \(n\) es un entero mayor o igual a dos.

Para resolver esta integral lo primero que haremos es reescribir el integrando como un producto es decir \(\int_{}{sin}^{n-1}sinxdx\), ahora tomamos \(u={sin}^{n-1}x\) y derivamos \(u\) respecto de \(x\), \(\frac{d[{sin}^{n-1}]}{dx}=\left(n-1\right){sin}^{n-2}xcosx\) de donde despejamos el diferencial \(du\), \(du=\left(n-1\right){sin}^{n-2}xcosxdx\) y integrando \(dv\) obtenemos el valor de \(v\), \(v=\int_{}sinxdx=-cosx\), y ya solo resta sustituir \(u\), \(v\) y \(du\) en la fórmula de integración por partes y ya lo demás es cuestión de simplificación.


Hallar las siguientes integrales usando la fórmula deducida en el ejemplo 4

Ejemplo 1
\(\int_{}{sin}^{2}xdx\)
Bueno simplemente tomamos el exponente como \(n=2\), y procedemos a sustituir en la fórmula deducida en el ejemplo 4.

Ejemplo 2
\(\int_{}{sin}^{3}xdx\)
Al igual que en el ejemplo 1, tomamos el exponente como \(n=3\), y hacemos la sustitución en la fórmula que obtuvimos en el ejemplo 4.

Vea también
Reglas básicas de derivación e integración
Determinación del área de un triángulo,un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo