noviembre 2016 - Matemática y Física

Busca el tema de tu interés

martes, 29 de noviembre de 2016

Volumen de un cono usando cálculo integral

Vamos a ver en este artículo como deducir u obtener mediante el cálculo integral e infinitesimal la fórmula que nos permite calcular el volumen de un cono sólido.
Cono
Sabemos por geometría clásica que el volumen de un cono cuyo radio de la base es \(R\) y cuya altura es \(H\) es.
Volumen-de-un-cono
Lo primero que haremos es dibujar el esqueleto de un cono con el eje \(x\) pasando por el centro de la base del cono y el eje \(y\) coincide con la altura del cono como se muestra a continuación.
Esqueleto-de-un-cono
Lo primero que vamos a hacer es deducir la ecuación de la línea recta \(l\), para esto usaremos la notación punto-pendiente \(y=mx+b\), así que vamos a calcular \(m\)\(b\) como se muestra a continuación.
Observamos en el dibujo anterior que la recta \(l\) corta el eje \(x\) en el punto \({P}_{1}\left(R,0\right)\) y corta el eje \(y\) en el punto \({P}_{2}\left(0,H\right)\), así que con estos dos puntos vamos a calcular la pendiente \(m\) y la ordenada \(b\).
Pendiente-y-ordenada
Ya conocemos la ecuación de la recta \(l\), ahora como el radio \(r\) es igual a \(x\), lo próximo que haremos es despejar \(x\) de la ecuación de la recta \(l\).
Despeje-de-la-variable-x
Y ya estamos listos para empezar a trabajar con el volumen de un cono, y lo primero que diremos es que el volumen diferencial de un cono viene dado por la expresión \(dV=dA \cdot dy\), de donde sabemos que \(dA\) es igual a \(\pi \cdot {r}^{2}\), así que sustituyendo \(r\) por \(x\left(y\right)\) vamos a tener que.
Diferencial-del-volumen-de-un-cono
Y ahora el volumen \(V\) del cono será igual a la integral del lado derecho de la expresión diferencial en un intervalo de \(y\) que vaya desde \(y=0\) hasta \(y=H\).
Integral-para-el -cálculo-del-volumen-de-un-cono
Bueno y como para solucionar esta integral es más difícil desarrollar el cuadrado del binomio \(H-y\) mejor optaremos por utilizar la técnica de sustitución de variables, en donde tomaremos \(u=H-y\) y definiremos un nuevo intervalo de integración encontrado \(u\) cuando \(y=0\) y cuando \(u=H\) y buscaremos una expresión que sustituya \(dy\) para lo cual derivaremos \(u\) respecto de \(y\) y luego despejaremos \(dy\), y ya luego hacemos todas estas sustituciones en la expresión integral para el volumen de un cono.
Sustitución-de-variables-para-la-obtención-del-volumen-de-un-cono
Ya lo único que nos queda es integral usando las reglas básicas para la integral de una potencia y luego simplificar para obtener la fórmula que nos permite calcular el volumen de un cono.
Simplificación-de-la-integral-de-potencia
Y finalmente el volumen de un cono con un radio \(R\) y altura \(H\) es.
Volumen-de-un-cono

Veamos un ejemplo de aplicación de este tema.
Hallar el volumen de un cono con radio de 10cm y altura de 30cm.
Solución:
El problema nos da el radio de la base del cono, y nos da la altura del cono, así que solamente tenemos que usar la expresión que nos permite calcular el volumen de un cono y simplificar.
Resolución-de-problema-con-el-volumen-de-un-cono
Y el volumen de un cono con estas características es igual aproximadamente a \(3140{cm}^{3}\)
Vea también
Reglas básicas de integración

Técnica del cambio de variables

Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

Ecuación de la recta

viernes, 25 de noviembre de 2016

Método gráfico para solucionar un sistema de ecuación

Vamos a trabajar en mostrar como obtener la solución de un sistema de ecuaciones en dos variables usando el método gráfico, que no es más ni menos que graficar cada una de la ecuaciones que conforman el sistema de ecuación.
Para graficar una ecuación en dos variables debemos asignarle un valor arbitrario a una de las variables para obtener el valor de la otra variable, si las variables que intervienen son \(x\)\(y\)en  un sistema de ecuación regularmente se despeja la variable \(y\) y se le asignan valores arbitrarios a \(x\), para graficar una ecuación de la que conforman el sistema de ecuación solo son necesario graficar dos puntos, para una mayor precisión del dibujo de la gráfica se pueden obtener más de dos puntos si así se considera necesario.
Y como los hechos hablan mejor que las palabras vamos a ver varios ejemplos de obtener la solución de un sistema de ecuación por el método gráfico.
Ejemplos
Resolver por el método gráfico cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.
Sistemas-de-ecuaciones
Bueno y vamos a resolver el primer sistema de ecuación usando el método gráfico para esto lo primero que hacemos es despejar \(y\) en las dos ecuaciones lineales que conforman el sistema de ecuación número 1, luego le asignaremos a la variable \(x\) valores arbitrarios que estén en el intervalo \(\left[-3,3\right]\), todo este proceso se muestra a continuación.
Solución-por-el-método-gráfico
Solución-por-el-método-gráfico
Solución-por-el-método-gráfico
Y por último graficamos los datos en las diferentes tablas, y si la gráfica de las dos ecuaciones se cortan en un punto este punto es el conjunto solución del sistema de ecuación.
Gráfico-con-la-solución-de-sistema-de-ecuación
Y como se puede observar en cada línea solo graficamos 3 puntos entre los que incluimos los puntos más extremos, y se ve claramente que el conjunto solución del sistema de ecuación es el punto \(\left(1,2\right)\).

Ahora vamos también vamos a dar los mismos pasos que dimos para el sistema de ecuación 1, despejaremos \(y\) y le asignaremos valores arbitrarios a \(x\) tabulando los resultados, esto lo hacemos en las dos ecuaciones que conforman el sistema de ecuación 2 y luego graficaremos los datos tabulados todo esto se muestra a continuación.
Análisis-del-método-gráfico
Análisis-del-método-gráfico
Análisis-del-método-gráfico
Y ahora procedemos a graficar.
Gráfico-con-la-solución-de-sistema-de-ecuación
Y como muestra la gráfica las líneas no se cortan en ningún punto por lo que concluimos que este sistema de ecuaciones no tiene solución y se puede clasificar como incompatible.

Para el sistema de ecuación 3 al igual que para los otros despejaremos la variable \(y\) y le daremos valores arbitrarios a \(x\), los resultados los organizaremos en dos tablas una para cada ecuación de las que conforman el sistema de ecuación y ya entonces haremos la gráfica tal como se muestra a continuación.
Análisis-del-método-gráfico
Análisis-del-método-gráfico
Análisis-del-método-gráfico
Y listo vamos ahora a hacer los gráficos que representan cada ecuación del sistema.
Gráfico-con-la-solución-de-sistema-de-ecuación
Y como se ve en el gráfico las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones 3 están representadas por una misma línea, lo que nos da a entender que este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y por tanto es un sistema compatible indeterminado.

Y ahora vamos también a resolver por el método gráfico el sistema de ecuación 4, para esto simplemente le daremos los valores que se nos ocurra a \(x\) para obtener los valores de \(y\) en las dos ecuaciones que conforman el sistema y organizaremos los datos en dos tablas, y luego graficaremos.
Análisis-del-método-gráfico Análisis-del-método-gráfico
Y ahora graficamos.
Gráfico-con-la-solución-del-sistema-de-ecuación
Y como se observa en la gráfica este sistema tiene por solución el par ordenado \(\left(0,1\right)\), siendo este sistema entonces un sistema compatible determinado

Vea también

¿Cómo averiguar analíticamente si un sistema de ecuación tiene o no solución?

Solución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución

Solución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación

Solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción

martes, 22 de noviembre de 2016

¿Como averiguar analíticamente si un sistema de ecuaciones en dos variables tiene solución sin resolver por ningún método?

Libreta-de-ecuaciones
Vamos a ver alguna técnicas de análisis para saber antes de embarcarnos en una resolución de un sistema de ecuaciones en dos variables si el sistema de ecuaciones tiene solución única, tiene soluciones infinitas o sencillamente no tiene solución.

¿Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución?
Si tenemos dos ecuaciones lineales cuyos coeficientes son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\).
Sistema-de-ecuación
Si se cumple la primera condición que establece que \(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=k\) entonces comprobamos la segunda condición que establece que \(\frac{c}{f}\ne k\) entonces si ambas condiciones se cumplen podemos decir que este sistema de ecuaciones no tiene solución y los sistemas que no tienen solución se conocen como sistemas incompatible.
O también si se cumple la primera condición \(\frac{d}{a}=\frac{e}{b}=k\) y confirmamos que \(\frac{f}{c}\ne k\) entonces el sistema de ecuación no tiene solución.
Nota: La segunda condición solo se analiza si se cumple la primera condición.
Ejemplo:
1- Determinar si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Vamos a comprobar si se cumple la primera condición dividiendo los coeficientes de la variable \(x\) de la primera ecuación entre el coeficiente \(x\) de la segunda ecuación, y comparamos esto con la división del coeficiente de \(y\) de la primera ecuación entre el coeficiente \(y\) de la segunda ecuación.
\(\begin{align*} \frac{3}{2}\ne \frac{4}{7} \end{align*}\)
\(\begin{align*} 1.5\ne 0.5715 \end{align*}\)
Como la división de los coeficientes de \(x\) no es igual a la división de los coeficientes de \(y\), ya no tenemos que recurrir a la segunda condición para decir con certeza que este sistema de ecuación tiene solución que puede única o infinita.
2-Determinar si el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución
Sistema-de-ecuación
Solución:
Primero comprobamos si la primera condición para que este sistema no tenga solución se cumple.
\(\begin{align*} \frac{6}{3}= \frac{8}{4}=2 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición, confirmamos si la segunda condición se cumple  es decir.
\(\begin{align*} \frac{5}{1}\ne 2 \end{align*}\)
Por tanto se cumple la primera y la segunda condición por lo que concluimos que este sistema no tiene solución y es un sistema incompatible.

¿Cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas?
Si tenemos un sistema de ecuación en donde los coeficientes de la primera y la segunda ecuación son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\) respectivamente.
Sistema-de-ecuación
Analíticamente si se cumple la primera condición \(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=k\) y confirmamos la segunda condición que establece que \(\frac{c}{f}= k\), entonces este sistema de ecuación tiene soluciones infinitas y es un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo:
1- Determinar si el sistema de ecuación siguiente tiene soluciones infinitas.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Averiguamos si se cumple la primera condición.
\(\begin{align*} \frac{10}{-2}=\frac{5}{-1}=-5 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición, comprobamos si la segunda condición se cumple.
\(\begin{align*} \frac{-5}{1}=-5 \end{align*}\)
Y como se cumple la primera y la segunda condición entonces concluimos que este sistema de ecuación tiene soluciones infinitas y por tanto este sistema es compatible indeterminado.

¿Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución única?
Un sistema con solución única es aquel que cuenta con una sola solución.
Si tenemos un sistema de ecuación en donde los coeficientes de la primera y segunda ecuación son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\) respectivamente
Sistema-de-ecuación
Si se cumple la condición \(\frac{a}{d}\ne \frac{b}{e}\) entonces concluimos que este sistema tiene una sola solución y por tanto es un sistema compatible determinado.
Ejemplo.
1- Determinar si el sistema de ecuación siguiente tiene solución única.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Averiguamos si se cumple la condición para que un sistema tenga solución única.
\(\begin{align*} \frac{10}{2}\ne \frac{5}{-1} \end{align*}\)
Y como se cumple fielmente la condición concluimos que este sistema de ecuación tiene una sola solución y por tanto este es un sistema compatible determinado.
2- Determinar analíticamente si el siguiente sistema de ecuación tiene solución única, no tiene solución o tiene solución infinita.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Primero evaluamos si se cumple la condición que debe de existir para que el sistema tenga una única solución.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1} \end{align*}\)
Y como no se cumple descartamos que tenga solución única, así que solo nos quedan dos posibilidades, que el sistema no tenga solución o que el sistema tenga solución infinita.
Entonces evaluaremos las condiciones para que el sistema no tenga solución.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1}=4 \end{align*}\)
Como se cumple una de las condiciones, evaluamos la segunda que establece que la división de los coeficientes independientes debe ser diferente de 4.
\(\begin{align*} \frac{20}{5} = 4 \end{align*}\)
Por tanto descartamos que este sistema no tenga solución.
Así que por eliminación sabemos que este sistema tiene soluciones infinitas, y eso lo confirmaremos analíticamente evaluando que se cumplan las condiciones para que esto sea cierto.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1}=4 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición confirmamos que también se cumpla la segunda.
\(\begin{align*} \frac{20}{5}=4 \end{align*}\)
Y como se cumplen las condiciones queda confirmado analíticamente que este sistema tiene soluciones infinitas y por tanto es un sistema compatible indeterminado.
Vea también
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción

viernes, 18 de noviembre de 2016

Identidades trigonométricas

Vamos a ver en este post como verificar el cumplimiento de una identidad trigonométrica, y primero que todo debemos decir que una identidad trigonométrica son dos expresiones trigonométricas que se ven diferentes pero que son iguales entre si.
Dentro de las funciones trigonométricas están las funciones trigonométricas Pitagóricas que son aquellas que para su deducción es necesario usar el teorema de Pitágoras.
\(\begin{align*}  {sin}^{2}\theta + {cos}^{2}\theta=1  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {tan}^{2}\theta + 1={sec}^{2}\theta  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  1+{cot}^{2}\theta ={csc}^{2}\theta  \end{align*}\)
También están las identidades recíprocas tales como.
\(\begin{align*} \sin{\beta}=\frac{1}{\csc{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cos{\beta}=\frac{1}{\sec{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \tan{\beta}=\frac{1}{\cot{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cot{\beta}=\frac{1}{\tan{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \sec{\beta}=\frac{1}{\cos{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \csc{\beta}=\frac{1}{\sin{\beta}} \end{align*}\)
Y también están las identidades por cocientes.
\(\begin{align*} \tan{\beta}=\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cot{\beta}=\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} \end{align*}\)
Mientras que otras identidades trigonométricas son el resultado de evaluar otros tipos de métodos, tales como la funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos, tres, cuatro y n ángulos, así como también las funciones trigonométricas de n veces un ángulo.
Identidades-trigonométricas Identidades-trigonométricas
Y existen incontables identidades trigonométricas, así que vamos en este post a ver también como verificar el cumplimiento de una identidad trigonométrica y para esto lo que hacemos es reducir el miembro de la identidad trigonométrica más compleja a el miembro de la identidad considerado más simple veamos algunos ejemplos.

1- Verificar que.
\(\begin{align*} \cos{\theta}\equiv\frac{\sin{\theta}+\cot{\theta}}{\tan{\theta}+\csc{\theta}} \end{align*}\)
Solución:
Vamos a tomar el lado derecho de la igualdad como la parte compleja de la identidad y usando funciones trigonométricas básicas vamos a llegar a la identidad izquierda.
Sabemos que \(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)\(\cot{\theta}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\) y que \(\csc{\theta}=\frac{1}{\sin{\theta}}\), así que sustituimos esto y luego simplificamos.
 Verificación-del-cumplimiento-de-una-identidad-trigonométrica
2- Verificar que.
\(\begin{align*} \frac{1-\sin{\beta}}{\cos{\beta}}\equiv \frac{\cos{\beta}}{1+\sin{\beta}}\end{align*}\)
Solución:
En este ejercicio tomaremos también el lado derecho de la identidad como el más complejo, y multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador que es \(1-\sin{\beta}\) y luego simplificamos.
Verificación-del-cumplimiento-de-una-identidad-trigonométrica

Vea también

Identidades trigonométricas pitagóricas

Funciones trigonométricas de 60 grados 

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos

Seno, coseno de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

martes, 15 de noviembre de 2016

Funciones trigonométricas de 60 grados

Vamos a echarle un vistazo a las funciones trigonométricas de 60 grados, pero antes de conocer las funciones trigonométricas de 60 grados vamos a refrescar nuestros conocimiento de trigonometría definiendo las funciones trigonométricas básicas.
\(\begin{align*} &\textrm{seno}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{coseno}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{tangente}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cotangente}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{lado opuesto}}\\ &\textrm{secante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cosecante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado opuesto}}\end{align*}\)
Si tenemos un triángulo rectángulo \(\Delta ABC\) donde el lado opuesto al ángulo \(\beta\) es \(a\), el lado adyacente es \(b\) y la hipotenusa es \(c\) entonces las funciones trigonométricas para el ángulo \(\beta\) son:
Triángulo-rectángulo
\(\begin{align*} &\sin{\beta}&=&\frac{a}{c}\\ &\cos{\beta}&=&\frac{b}{c}\\ &\tan{\beta}&=&\frac{a}{b}\\ &\cot{\beta}&=&\frac{b}{a}\\ &\sec{\beta}&=&\frac{c}{b}\\ &\csc{\beta}&=&\frac{c}{a}\end{align*}\)  .
Así que tomaremos como modelo las funciones trigonométricas del ángulo \(\beta\), y ahora nos proponemos encontrar las funciones trigonométricas de 60 grados, pero para esto vamos a auxiliarnos de la gráfica de un triángulo equilátero el cual partiremos por la mitad para de esta manera obtener una de las mitades de esta partición que representa un triángulo rectángulo que cuenta con un ángulo agudo de 60 grados.
Triángulo-equilátero
Después de extraer una de las mitad del triangulo equilátero \(\Delta ABC\) la gráfica se ve así.
Triángulo-rectángulo-con-ángulo-agudo-de-60-grados
Así que vamos a determinar la medida del ´lado \(AD\), para esto usaremos el teorema de Pitágoras que establece que.
\({\left|AC\right |}^{2}={\left|AD\right|}^{2}+{\left | DC \right | }^{2}\)
Por lo que despejando \(\left|AD\right|\) y sustituyendo los valores de \(\left|DC\right|=l/2\)\(\left|AC\right|=l\) en el despeje obtendremos el valor de \(\left|AD\right|\), como se muestra a continuación.
Lado-de-un-triángulo-usando-el-teorema-de-Pitágoras
Y ya conociendo el valor de \(\left|AD\right|\) procedemos a encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo de 60 grados, tal como se muestra a continuación.
Funciones-trigonométricas-de-60-grados
Funciones-trigonométricas-de-60-grados
En conclusión las funciones trigonométricas de 60 grados son:
\(\sin{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\)
\(\cos{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{2} \end{align*}\)
\(\tan{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\sqrt{3} \end{align*}\)
\(\cot{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}\)
\(\sec{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}2 \end{align*}\)
\(\csc{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}\)

Vea también
Funciones trigonométricas de un ángulo de 30 grados

Seno, coseno y tangente de la suma y la diferencia de dos ángulos

Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

Identidades trigonométricas pitágoricas

viernes, 11 de noviembre de 2016

Funciones trigonométricas de 45 grados

Primero empecemos este post definiendo las seis funciones trigonométricas básicas, como son el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante que se definen como:
\(\begin{align*} &\textrm{seno}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{coseno}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{tangente}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cotangente}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{lado opuesto}}\\ &\textrm{secante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cosecante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado opuesto}}\end{align*}\)
Si las medidas de un triángulo rectángulo \(\Delta ABC\) son \(a\)\(b\)\(c\), y \(\beta\) uno de sus ángulos internos, entonces las funciones trigonométricas para el ángulo \(\beta\) son:
Triángulo-rectángulo
\(\begin{align*} &\sin{\beta}&=&\frac{a}{c}\\ &\cos{\beta}&=&\frac{b}{c}\\ &\tan{\beta}&=&\frac{a}{b}\\ &\cot{\beta}&=&\frac{b}{a}\\ &\sec{\beta}&=&\frac{c}{b}\\ &\csc{\beta}&=&\frac{c}{a}\end{align*}\)
Pero en este artículo lo que nos interesa es conocer las funciones trigonométricas de un ángulo de \({45}^{\circ}\), así que después de repasar las definiciones de las funciones trigonométricas básicas vamos a concentrarnos en las funciones trigonométricas de un ángulo de \({45}^{\circ}\).
Lo primero que haremos es construir un cuadrado \(ABCD\) cuyos lados miden \(l\), que partiremos por la mitad trazando una línea auxiliar que va desde el vértice \(A\) al vértice \(C\) que corresponde a una de las diagonales del cuadrado.
Como los cuatros ángulos internos de un cuadrado miden 90 grados, el propósito de la linea \(\overline{AC}\) es partir por la mitad el ángulo de \({90}^{\circ}\), ya que si dividimos el ángulo de \({90}^{\circ}\) entre dos obtendremos el ángulo de \({45}^{\circ}\) que nos interesa y el cuadrado se nos dividirá en dos triángulos rectángulos tal como muestra la siguiente figura.
Cuadrado-ABCD
Y después de dividir en dos el cuadrado \(ABCD\) una de sus mitades se ve como muestra la siguiente gráfica.
Triángulo-ABC
Y antes de conocer las funciones trigonométricas de un ángulo de 45 grados vamos a averiguar el valor del lado \(\overline{AC}\) que corresponde a la hipotenusa, por lo que para averiguar este valor usaremos el teorema de Pitágoras que establece que.
\({\overline{AC}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}\)
Por lo que si despejamos \(\overline{AC}\), aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
\(\begin{align*} &\sqrt{{\overline{AC}}^{2}}&=&\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}} \\&\overline{AC}&=&\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}} \end{align*}\)
Así que como \(\overline{AB}=l\)\(\overline{BC}=l\), entonces \(\overline{AC}\) es.
Teorema-de-Pitágoras-y-resolución
Así que conociendo el lado \(\overline{AC}\), ahora sí, vamos por las funciones trigonométricas de 45 grados.
Triángulo-para-la-obtención-de-las-funciones-trigonométricas-de-45-grados
Funciones-trigonométricas-de-45-grados
En resumen las funciones trigonométricas de un ángulo de 45 son:
\(\sin{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}\)
\(\cos{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}\)
\(\tan{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} 1 \end{align*}\)
\(\cot{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} 1 \end{align*}\)
\(\sec{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}\)
\(\csc{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}\)

Vea también
Funciones trigonométricas de un ángulo de 30 grados

Seno, coseno y tangente de la suma y la diferencia de dos ángulos

Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

Identidades trigonométricas pitágoricas