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miércoles, 18 de octubre de 2017

Operaciones básicas con matrices

En este post estaremos analizando las operaciones básicas que se pueden realizar entre dos o más matrices enfocándonos básicamente en la suma, resta y multiplicación de matrices, así que si pérdida de tiempo vamos a entrar en materia.

Suma de dos matrices
Para efectuar una suma entre dos matrices o más estas deben estar dispuestas en el mismo orden, es decir una matriz \(3\:x\:3\) se debe de sumar con otra matriz \(3\:x\:3\), luego tomamos el elemento en la fila y columna 1 y se lo sumamos al elemento que se encuentra en la misma posición  en la otra matriz y esto repetimos hasta el enésimo elemento de cada matriz.
Ejemplos:
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Primero sumamos el elemento en la fila y columna 1 de la primera matriz y se lo sumamos al elemento en la misma posición en la segunda , tomamos también el elemento en la fila y columna 2 de la primera matriz y se lo sumamos al elemento en la misma posición en la segunda matriz y así procedemos con el resto de los demás elementos contenidos en la primera y segunda matriz.
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(b\).
Para solucionar este ejercicio procedemos de forma análoga a la solución del ejercicio \(a\).
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(c\).
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
suma de dos matrices

Resta de dos matrices
Para restar dos matrices primero nos percatamos de que estas estén dispuestas en el mismo orden, luego procedemos de manera similar a la suma de dos matrices la única diferencia es que le restaremos a cada elemento de la primera matriz los elementos de la segunda matriz.
Ejemplos:
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Primero al elemento de la primera matriz ubicado en la fila y columna 1 les restamos el elemento en la posición de la primera fila y columna 1 de la segunda matriz, esto lo repetimos hasta el enésimo elemento de cada matriz.
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(b\).
Procedemos de la misma manera que en el ejercicio \(b\).
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(c\).
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
resta de dos matrices

Multiplicación de dos matrices
Si tenemos dos matrices una \(A\) y otra \(B\), tomamos la fila 1 de la matriz \(A\) y multiplicamos esta fila como un producto escalar por todas las columnas de la matriz \(B\) y de esta manera obtenemos la fila 1 de la matriz producto y el resultado de cada multiplicación de una fila de \(A\) por cada columna de \(B\) corresponderá a una fila de la matriz producto, este mismo procedimiento lo hacemos con cada fila de la matriz \(A\), y debemos decir que la matriz resultado del producto deberá ser del mismo orden de la matriz que contenga el menor número de columnas o en su defecto el menor número de filas.
Ejemplos:
multiplicación de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Como la primera matriz es una matriz columna, procedemos a multiplicar como un producto escalar la primera columna de esta matriz que es única por cada una de las columnas de la segunda matriz..
multiplicación de dos matrices
Como se puede ver la matriz resultado del producto tiene exactamente las mismas dimensiones que la primera matriz.
Solución al ejercicio \(b\).
multiplicación de dos matrices
Ahora pasamos a calcular cada valor de cada elemento \({a}_{mn}\).
multiplicación de dos matrices
multiplicación de dos matrices
Y como se puede ver la matriz resultado del producto de las matrices es del mismo orden de la matriz con el menor número de columnas.
Solución al ejercicio \(c\).
Procedemos análogamente a los ejercicios anteriores, y como son dos matrices cuadradas de segundo orden el resultado será una matriz cuadrada de segundo orden osea \(2\:x\:2\).
multiplicación de dos matrices
Pasamos a calcular los diferentes valores de los elementos \({a}_{mn}\).
multiplicación de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
Básicamente tenemos el producto de matrices filas que se pueden interpretar como dos vectores, así que nos limitaremos a hacer el producto escalar de estos dos vectores.
multiplicación de dos matrices

Vea también

Tipos de matrices y definiciones

martes, 17 de octubre de 2017

Tipos de matrices y sus definiciones

En este post vamos a echar un vistazo a los tipos de matrices y como estos se definen, en este post nos enfocaremos en las definiciones de estos tipos de matrices.
Filas y columnas en una matriz

Definición de matriz:
Una matriz se define como un arreglo de filas y columnas que tienen un orden \(m x n\) especifico, en donde \(m\) es el numero de filas y \(n\) el numero de columnas.
Matrices cuadrada y rectángulares
La matriz \(A\) es de orden \(2\: x\:2\), ya que tiene dos filas y dos columnas, mientras la matriz \(B\) es de orden  \(2\: x\:3\), ya que tiene dos filas y tres columnas.
Las matrices partiendo de la forma especifica en que estén ordenadas se clasifican en: matriz rectangular, matriz cuadrada, matriz fila, matriz columna, matriz triangular inferior, matriz triangular superior, matriz unidad, matriz nula, matriz simétrica, matriz transpuesta y matriz inversa.

Matriz rectangular:
Es aquella matriz donde  el número de filas y el número de columnas son diferentes y viceversa.
Ejemplo:
Matrices rectángulares
La matriz \(C\) al igual que la matriz \(D\) son rectangulares ya que el numero de fila \(m=3\)  y \(n=2\) en la matriz \(C\) son diferentes \(m\neq n\).

Matriz cuadrada:
Es aquella que tiene el mismo número de filas y de columnas.
Ejemplo:
matriz cuadrada
La matriz \(A\) tiene \(m=3\) y \(n=3\) donde \(m=n\), y debemos decir que toda matriz cuadrada es rectangular mientras que esto no se cumple de forma contraria.

Matriz fila:
Es aquella matriz que contiene una fila.
Ejemplo:
matriz fila
La matriz A es una matriz fila

Matriz columna:
Es aquella matriz que contiene una columna.
Ejemplo:
matriz columna

Matriz triangular inferior:
Es aquella matriz que contiene en la parte superior a la diagonal principal todos sus elementos iguales a cero, mientras que en la parte inferior de la diagonal elementos diferentes de cero.
Ejemplo:
matriz triangular inferior

Matriz triangular superior:
Es aquella matriz que en la parte inferior a su diagonal principal solo tiene elementos iguales a cero, mientras que en la parte superior a la diagonal son diferentes de cero.
Ejemplo:
matriz triangular superior

Matriz unidad:
Es aquella matriz cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1, mientras que los demás elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales a cero y se distingue porque el determinante de la matriz es igual a uno.
Ejemplo:
matriz unidad

Matriz nula:
Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y cuyo determinante es igual a cero.
Ejemplo:
matriz nula

Matriz simétrica:
Es aquella matriz en donde los elementos que componen las filas son iguales a los elementos que componen las columnas, esta debe ser cuadrada y aparte tiene la particularidad de que es igual a su matriz transpuesta.
Ejemplo:
matrices simétricas
Los elementos de la fila 1 son iguales a los elementos de la columna 1, los elementos de la fila 2 son iguales a los elementos de la columna 2, los elemento de la fila 3 son iguales a los elementos que componen la columna 3, por tanto la matriz \(A\) es una matriz simétrica.

Matriz transpuesta:
Si \(A\) y \(B\) son dos matrices y \(B\) es la matriz transpuesta de \(A\) entonces se cumple que las filas de \(B\) son las columnas de \(A\) y las columnas de \(B\) son las filas de \(A\), y si esto se cumple entonces \(B\) es la matriz transpuesta de \(A\), simbólicamente \(B\) se puede escribir como \(B={A}^{T}\).
Ejemplo:
matriz transpuesta
Entonces \(B={A}^{T}\).
transpuesta de una matriz
Por tanto \({A}^{T}\) es la matriz transpuesta de \(A\).

Matriz inversa:
Si tenemos tres matrices \(A\), \(B\) y \(C\), donde \(C\) es una matriz unidad y se cumple que \(A\dot B=C\), entonces \(B\) es la matriz inversa de \(A\), entonces se tiene simbólicamente que \(B={A}^{-1}\).
Ejemplo:
matriz inversa B
Entonces \({A}^{-1}\) es la matriz inversa de \(A\) ya que se cumple que:

condiciones que debe cumplir una matriz inversa para ser inversa

Para recabar más información de la matriz inversa de otra matriz vea [Matriz inversa].

martes, 26 de septiembre de 2017

Solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

En este artículo vamos a continuar observando el método gauss-jordan aplicado a la solución de un sistema de ecuaciones con tres variables.
Así que vamos a entrar en materia, resolviendo el sistema siguiente:
sistema de ecuación en tres variables
Primero vamos a expresar este sistema en forma matricial:
sistema de ecuación en tres variables en forma matricial
Ahora identificamos las columnas en donde deberemos obtener una matriz unidad que son:
identificación de las columnas de la matriz unidad de tercer orden
Para continuar con la resolución de este sistema de ecuación, tomaremos como nuestra columna de trabajo la columna (1), y tomaremos 2 como nuestro coeficiente pivote, así que dividiremos todos los términos de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, para tener que:
paso 1 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora haremos que los coeficientes debajo del coeficiente 1, sean igual a cero, para esto primero multiplicaremos la fila superior donde se encontraba el coeficiente pivote,  por el negativo del coeficiente debajo de la primera fila, directamente debajo del coeficiente pivote que va a ser 3.
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la segunda fila es decir:
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y ahora hallaremos el segundo cero en la columna (1) correspondiente a la última fila, para esto repetiremos de manera análoga el paso anterior, es decir vamos a multiplicar la  primera fila por el coeficiente negativo de la última fila que intercepta con la columna de trabajo osea la columna (1).
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la última fila de nuestra matriz de datos:
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Como se puede observar en la columna de trabajo (1), el coeficiente pivote se redujo a 1 y los coeficientes debajo de el se redujeron a cero, esto es lo que seguiremos haciendo en la segunda y tercera columna.
Recordemos que los coeficientes pivotes los escogeremos de acuerdo al orden en que se colocan los coeficientes 1, en una matriz unidad \(3x3\), es decir:
Matriz unidad de tercer orden
Así que ahora tomaremos la segunda columna como la columna de trabajo, y tomaremos como nuestro coeficiente pivote 7.5 que corresponde con el coeficiente 1 de la matriz unidad, y dividiremos cada elemento de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 7.5, esto lo hacemos para obtener el 1 de la matriz unidad.
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ya obtuvimos un 1 en la columna de trabajo la columna 2, así que ahora vamos a reducir a cero los elementos por arriba y por debajo del coeficiente 1 donde se encontraba el coeficiente pivote, primero vamos a obtener el cero por arriba de 1, para esto multiplicaremos todos los términos de la segunda fila por el negativo de 1.5 es decir por -1.5 y luego cada uno de estos coeficientes se los sumaremos a la fila superior , como se muestra a continuación:
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora vamos a obtener el cero que nos hace falta de nuestra columna de trabajo la columna 2, así  que multiplicaremos la segunda fila por el negativo de -8 que es –(-8)=8, y el resultado se los sumaremos a cada elemento de la última fila.
paso 5 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la tercera columna y guiándonos de la matriz unidad de tercer orden, el coeficiente pivote es 3.2, entonces dividimos cada elemento de la fila donde se encuentra el pivote entre 3.2, para de esta manera obtener el 1 que nos hace falta para completar nuestra matriz unidad.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora reduciremos a cero los demás elementos de la tercera columna, así que vamos a multiplicar la última fila por el coeficiente negativo de 1.4, y luego el resultado se lo sumaremos a todos los elementos de la segunda fila, como se muestra a continuación.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y por último  vamos a obtener el cero que nos falta en la tercera columna, así que ahora multiplicaremos la última fila por el negativo de 0.4 es decir -0.4 y el resultado se lo sumaremos a cada elemento de la primera fila, y así obtener el cero que nos hace falta en esta fila.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y como se ve hemos obtenido una matriz unidad de tercer orden, en las primeras tres columnas lo que nos dice que hemos llegado a la solución del sistema de ecuaciones de tres variables, la posición de cada 1 representa la variable que ocuparía esa posición en el sistema de ecuación, es decir el 1 en la primera fila y primera columna representa la variable \(x\), el 1 ubicado en la segunda fila y segunda columna representa la variable \(y\) y el 1 situado en la tercera fila y tercera columna representa la variable \(z\), y la cuarta y última columna representa la soluciones o lo que valen las variables \(x\), \(y\) y \(z\).
Entonces la solución de nuestro sistema de ecuaciones es:
solución del sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones.

Matriz inversa.

viernes, 15 de septiembre de 2017

Gauss-jordan y solución de un sistema de ecuación

Continuando con algo de álgebra de matrices, vamos en esta ocasión hablar de cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método gauss-jordan, antes de trabajar este método usando matrices, vamos a ver los pasos que contempla este método usando álgebra natural, por ejemplo vamos a considerar todos los pasos en la solución del siguiente sistema.
Sistema de ecuación en dos variables
Solución:
Escogemos nuestra columna de trabajo donde se encuentra la variable \(x\), dividimos la ecuación (1) entre el coeficiente 2 de la ecuación (1) que tomaremos como nuestro coeficiente pivote.
solución del sistema usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos  (1) por -4 y luego sumamos el miembro derecho de (1) a la ecuación (2) con el propósito de que la variable \(x\) en (2) tenga coeficiente cero.
solución del sistema utilizando gauss-jordan
Reescribiendo el sistema de ecuación original tenemos ahora:
Sistema de ecuación después de aplicar varios del método gauss-jorda
Como la columna que contiene las variable \(x\) , está normalizada al hecho de que el coeficiente en la ecuación (1) es uno y cero en la ecuación (2), eliminamos esta columna de futuras consideraciones, por lo que ahora tomamos la columna con variable \(y\) como nuestra columna de trabajo y tomaremos como nuestro coeficiente pivote -8, así que dividiremos cada término de la ecuación (2) entre -8.
solución usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos toda la ecuación (2)  por el negativo del coeficiente de (y) en la ecuación (1) es decir -1.5.
solución usando gauss-jordan
Ahora sumamos (2) a la ecuación (1) para de esta manera obtener los demás ceros de la columna de la variable \(y\).
solución usando gauss-jordan
Ahora el sistema se nos reduce a:

Y como se observa los coeficientes de las variables quedan contenido dentro de una matriz unidad que es irreducible.
matriz unidad de segundo orden
Por tanto \(x=1\) y \(y=3\).
Todos estos pasos anteriores son los que se dan con el método gauss-jordan, pasos que en la mayoría de los casos tienen una notación matricial.
A nivel matricial, para resolver el sistema anterior
sistema de ecuación en dos variables
Expresamos todos los coeficiente de las diferentes variables \(x\) e \(y\) y los coeficientes independientes \(11\) y \(-2\) como una matriz de dos filas y 3 columnas \(2x3\).
sistema de ecuación expresado en forma de una matriz
Tomamos la columna (1) como nuestra columna de trabajo, y tomamos 2 como nuestro coeficiente pivote, dividimos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, dándonos.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora multiplicamos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote por el negativo del primer coeficiente de la segunda fila osea \(-4\) y luego el resultado se lo sumamos a la segunda fila.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos (1) a (2).
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Como ya se completó la configuración que establece que en cada columna debe haber un coeficiente igual a uno y los demás deben ser cero con el objeto de obtener una matriz unidad en las \(m-1\) columnas es decir en \(3-1=2\) columnas, ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la segunda columna y nuestro punto pivote será -8, así que dividiremos todos los coeficientes de la segunda fila entre -8.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora buscaremos reducir a cero los demás elementos de la columna dos, para esto multiplicaremos la segunda fila por el negativo del coeficiente que está en la segunda fila dentro de la columna de trabajo, nos referimos a 1.5, pero lo tomamos negativos osea -1.5.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos cada elemento de (2) a cada elemento de la fila uno, dándonos:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Y como la matriz formada por las dos primeras columnas es irreductible ya que es una matriz unidad, sabemos que hemos llegado a la máxima simplificación, por tanto:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Así que \(x=1\) y \(y=3\) son las soluciones del sistema de ecuación.
Como este artículo se ha extendido un poco, vamos en un próximo artículo a ver la solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan.

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones

Matriz inversa