2017 - Matemática y Física

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martes, 5 de diciembre de 2017

Área de un polígono regular e irregular usando la técnica de papel cuadriculado

En este post presentaremos la técnica de área cuadriculada, cuando hablamos de área cuadriculadas nos referimos  a la determinación del área de un polígono regular o irregular dibujada en un papel cuadriculado.
Primero en base a los cálculos de área de la diferentes figuras mostradas en la siguiente gráfica, deduciremos de manera experimentar un modelo matemático que nos permita calcular el área de cualquier polígono dibujado sobre un papel cuadriculado independientemente de que este sea regular e irregular. 
cuadrado dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Empezaremos calculando el área de una única cuadricula que es igual a \(1{u}^{2}\), pudiendo ser esta unidad \(u\), un centímetro, un metro u otra unidad medida.
Y las área de las figuras 1, 2 y 3 se calcula como se muestra a continuación.
Área de de los tres cuadrados dibujados en papel cuadriculado

Ahora formaremos otra forma geométrica en el papel cuadriculado para corroborar que con cualquier forma dibujada en un papel cuadriculado se cumple el mismo proceso de cálculo en base a los puntos externos e internos de una figura geométrica.
Paralelogramo dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para el área de la figura 1 tomamos los puntos perimetrales externos igual a 4 y lo puntos internos a la línea perimetral la tomamos como igual a cero, teniendo presente que para que un punto sea contado externamente la línea perimetral externa debe cruzar por este y además dos línea perpendiculares de la cuadricula deben interceptarse en ese punto punto, mientras que para un punto ser interno debe simplemente la intercepción de dos líneas perpendiculares deben interceptarse internamente.  
área del pralelorgramo uno dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para la figura 2 observamos que los puntos externos son 8, mientras los internos son igual a uno, y el área entonces es
área del pralelorgramo dos dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Y para la figura 3 vemos que los puntos externos son 12 mientras los internos son 4, y área es como se muestra a continuación.
área del pralelorgramo tres dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

De todos los ejemplos anteriores, en los que hemos calculados el área de figuras geométricas en papel cuadriculado se cumple lo siguiente:
“El área de cualquier polígono regular e irregular dibujado en una cuadricula es igual a la mitad de los puntos perimetrales del polígono \(E\), sumado al total de los puntos interiores \(I\) de la cuadrícula menos uno.”
Fórmula que permite calcular el área de un polígono regular e irregular en función de ls puntos externos e internos de la cuadricula sobre la que se dibuja el polígono

Ya teniendo una relación matemática que nos permite calcular el área de cualquier polígono cuadriculado, vamos a resolver un último ejercicio.
Hallar el área de las siguientes figuras sabiendo que cada cuadrícula cuadrada mide de lado un centímetro.
Polígono irregular de diez lados dibujado sobre papel cuadriculado de un centímetro

Solución:
En esta figura podemos notar que la cantidad de puntos externos perimetrales del polígono es 16 mientras que los puntos internos son 25, así que el área de este polígono es como se calcula a continuación.
Proceso de cálculo del área del polígono de diez lados

Y como en nuestro caso tomamos una cuadricula de lado de un centímetro, entonces el área de superficie es de \(32{cm}^{2}\).

miércoles, 29 de noviembre de 2017

Forma estándar de un programa matemático

En este post estaremos dando algunas pinceladas acerca de cómo resolver problemas de optimización, basados principalmente en este artículo, en el importante asunto de poner en forma estándar, lo que en informática se conoce como un programa matemático o un programa lineal.
Básicamente un programa lineal queda expresado matemáticamente por una función a optimizar \(s=f\left({x}_{1},{x}_{2},\cdot\cdot\cdot,{x}_{n}\right)\) que debe pasar por un filtro de restricciones que quedan representada por la forma \({g}_{i}\left({x}_{1},{x}_{2},\cdot\cdot\cdot,{x}_{n}\right)\) y \(i=1,2,3,\:.\:.\:.,m\), que puede tomar tres posibles tipos de comparaciones menor o igual que \(\leq\), igual que \(=\) y mayor o igual que \(\geq\), una característica bien importante siempre a considerar es que los coeficientes independientes \({b}_{i}\) siempre son positivos, \({b}_{i}\geq 0\:\left(i=1,2,3,\:.\:.\:.,m\right)\).
Por ejemplo:
Programa matemático

Para estandarizar un programa matemático, lo que debemos de hacer es expresar todas las desigualdades o inecuaciones en igualdades o ecuaciones y establecer una solución factible inicial.
Un programa en forma estándar y expresado en forma matricial queda expresados así.
Programa matemático en forma estándar usando notación matricial

Poniendo en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad menor o igual que.

Para estandarizar una inecuación que contiene la desigualdad menor o igual que \(\leq\) sumamos una variable positiva, conocida como variable de holgura al lado izquierdo de la desigualdad, ejemplo si tenemos dentro de las restricciones de un programa lineal la restricción \(2{x}_{1}+3{x}_{2}\leq 2\), para estandarizar esta restricción sumamos la variable de holgura \({x}_{3}\) al miembro izquierdo de la inecuación es decir.
forma estándar de una restricción con signo menor o igual que

Entonces lo que la variable de holgura representa, es la diferencia de los lados derechos e izquierdo de la restricción, que puede perfectamente representar el desperdicio, ya que si \(2{x}_{1}+{x}_{2}\) es menor que \(2\) esto significa que 2 excede en una cantidad \({x}_{3}\) a la cantidad \(2{x}_{1}+{x}_{2}\).
Ejemplo de poner en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad \(\leq\).
Programa matemático en el que se minimiza la función objetivo

Solución:
Primero ponemos en forma estándar la primera restricción, para esto le sumamos la variable de holgura \({x}_{3}\) al lado izquierdo, también para poner de forma estándar la segunda restricción le sumamos al lado izquierdo la variable de holgura \({x}_{4}\), con lo que el programa queda estandarizado.
Proceso de estandarizar la función objetivo

Con esta forma estándar se consigue uno de los objetivos, que es obtener una solución factible inicial, si tratamos las variables de holguras como una solución inicial del programa matemático entonces estas las consideramos como variables básicas mientras que las demás variables entiéndase \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) como no básicas, y por tanto este programa tendría una solución inicial con \({x}_{3}=2, {x}_{4}=10\) y \({x}_{1}={x}_{2}=0\).
Esta forma estándar expresada en forma matricial es.
Forma estándar del programa matemático en forma matricial

Cuando se trata de poner en forma estándar un programa lineal que contiene la desigualdad mayor o igual que \(\geq\), sumamos una variable superflua al lado derecho de la restricción, representando la variable superflua la cantidad faltante del lado derecho para ser igual al lado izquierdo, luego de esto se traslada esta variable al lado izquierdo cambiándole el signo a negativo, por ejemplo.
Poniendo de forma estándar una restricción de mayor o igual que

Le sumamos al lado derecho de la igualdad la variable superflua \({x}_{4}\) y luego la trasladamos a la izquierda de la restricción como se muestra a continuación.
Proceso de estandarización de una restricción que contiene el signo de comparación mayor o igual que

Poniendo en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad mayor o igual que.

Ahora bien aunque ya la restricción la hemos colocado como una ecuación aun así todavía no está estandarizada ya que una restricción implícita de un programa matemático es que ninguna de las variables puede ser negativa y si nosotros por ejemplo consideramos la variable \({x}_{4}\), como parte de una solución básica inicial entonces, dentro de esa solución inicial debemos tomar las demás variables igual a cero por lo que nos quedaría \(2\left(0\right)-3\left(0\right)+4\left(0\right)-{x}_{4}=3\) de donde entonces \(-{x}_{4}=3\), si despejamos \({x}_{4}\) su valor es negativo \({x}_{4}=-3\), lo que viola el hecho de que ninguna variable debe ser negativa.
De este análisis por tanto es que surge lo que se conoce como una variable artificial que al sumarla al lado izquierdo de la igualdad salva la restricción de que todas las variables en la solución inicial deben ser no negativas, así que la restricción queda formalmente estandarizada como.
Agregando una variable artificial después de agregar una variable superflua

De donde si consideramos ahora \({x}_{5}\) como parte de la solución inicial y la demás variables que no forman parte de la solución como igual a cero \({x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}={x}_{4}=0\) entonces la variable artificial toma el valor \({x}_{5}=3\).
Poner de forma estándar el programa siguiente.
Programa lineal matemático con maximización de función objetivo

Solución:
Para poner de forma estándar este programa lineal lo primero que haremos es agregar de manera directa en la tres restricciones las variables superfluas \({d}_{4},{d}_{5},{d}_{6}\) restándolas al lado izquierdo de la tres restricciones y la sumaremos a la función objetivo con coeficientes cero.
Agregando variables superfluas al programa matemático

Ahora para finalizar agregamos las tres variables artificiales \({d}_{7},{d}_{8},{d}_{9}\), con lo cual el programa queda expresado en forma estándar.
Agregando variables artificiales al programa matemático lineal

Y esta forma estándar expresada en forma matricial es.
Poniendo la forma estándar del programa matemático en forma matricial estándar

Como se puede observar en la estandarización del programa anterior, cuando a una restricción de igualdad en un programa para el cual obtendremos una maximización de la forma \(A{x}_{1}+B{x}_{2}=b\), añadimos una variable artificial al lado izquierdo de la igualdad \(A{x}_{1}+B{x}_{2}+{x}_{3}=b\), lo que matemáticamente altera la ecuación, por lo que esta variable \({x}_{3}\) es una mera formalización por que esto produce el costo penal de que en una posible solución óptima el valor de una variable como esta debe ser cero y por tanto si esta variable se toma como igual a cero entonces la alteración que se hace de la ecuación al inicio, al final no altera la restricción, así en contraposición esta variable se coloca en la función objetivo \(s\) con un coeficiente bien grande negativo en caso de maximización representado por la constante \(-M\), mientras que se coloca con un valor bien grande positivo en caso de minimización \(M\), este valor del coeficiente al final es irrelevante, ya que en un óptimo las variables artificiales son cero y por tanto no afectan la función objetivo \(s\).

viernes, 24 de noviembre de 2017

Volumen de una esfera usando triple integral y coordenadas esféricas

En este post estaremos viendo la manera de obtener el volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas esféricas, antes de iniciar debemos decir que a la hora simplificar este método es el más simple en comparación con otros métodos que hemos utilizados para encontrar el volumen de una esfera.
Y como en la gran mayoría de análisis que se hacen en matemáticas, iniciaremos haciéndole algunas observaciones a la siguiente gráfica, a fin de hallar una expresión diferencial que nos permita obtener el volumen de una esfera en términos de las coordenadas esféricas \(\left(\omega,\theta,\alpha\right)\).
esfera entramada con diferencial de volumen esférico

Un pequeño segmento de longitud de la figura diferencial esférica es igual a la diferencia de \({\omega}_{1}\) y \({\omega}_{2}\)
longitud diferencial de la región Q diferencial

Otra longitud diferencial la podemos tomar como el producto de \({\omega}_{2}\) por la diferencia de los ángulos \({\alpha}_{1}\) y \({\alpha}_{2}\), pero resulta que, como esta longitud es bien pequeña, sabemos que \({\omega}_{1}\) es aproximadamente igual a \({\omega}_{2}\).
longitud diferencial del sólido diferencial Q

En el artículo [Coordenadas esféricas] se demostró que \(r\) es igual a \(\omega\sin{\alpha}\), por lo tanto la longitud de un pequeño segmento circular \(\Delta s\), viene dado por \(r\Delta \theta\).
longitud diferencial del sólido diferencial Q

Así que el volumen \(\Delta V\) queda expresado como a continuación.
Volumen diferencial en coordenadas esféricas

Entonces el diferencial de volumen lo podemos tomar como.


Y el volumen puede representarse perfectamente con la siguiente triple integral en la región sólida Q.
Volumen usando coordenadas esféricas

En el artículo [Coordenadas esféricas] se demostró que la ecuación rectangular de una esfera con radio \(a\) en coordenadas esféricas es \(\omega=a\), así que la región sólida esférica para una esfera es.
Región Q que representa espacio geométrico de una esfera

Dicho todo lo anterior vamos a tomar los intervalos que delimitan la región Q y se lo aplicaremos a una integral triple como se muestra a continuación.
Volumen de una esfera usando integral triple y coordenadas esféricas

Como se puede observar tomamos el intervalo de integración de la integral más interna cuya variable es la letra griega omega como \(0\leq\omega\leq a\), el segundo intervalo de integración para la variable \(\alpha\), lo tomamos como \(0\leq\alpha\leq \pi\) y el intervalo de la variable de la integral más exterior como \(0\leq\theta\leq 2\pi\).
Aclarado lo anterior vamos ahora a proceder a simplificar la triple integral usando coordenadas esféricas, este proceso de simplificación lo haremos en el mismo orden de los diferenciales de las variables \(\omega\), \(\alpha\) y \(\theta\).
Proceso de simplificación de la integral triple en coordenadas esféricas para hallar el volumen de una esfera de radio a

Y como se puede observar después de simplificar la triple integral, el volumen de una esfera con radio \(a\) y usando coordenadas esféricas es.
Volumen de una esfera cuyo radio es a

Vea también.


Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas cilíndricas.

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares.

Volumen de una esfera usando integrales dobles

Volumen de una esfera usando integral definida.

miércoles, 22 de noviembre de 2017

Coordenadas esféricas

En este post vamos a ver las coordenadas esféricas y la manera de transformar coordenadas esféricas a rectangulares y viceversa, así como también la forma de relacionar coordenadas esféricas con coordenadas cilíndricas.
Para empezar, un punto en coordenadas esféricas, tiene tres coordenadas de las cuales una representa la distancia del centro geométrico de una esfera al punto extremo del vector \(\vec{H}\), mientras que las otras dos coordenadas son ángulos, partiendo de la figura siguiente podemos decir que las características principales de una terna esférica es.
punto en coordenadas esféricas

Así que observando la figura (1), nombraremos la proyección del vector \(\vec{H}\) en el \(\vec{r}\)  y la componente de \(\vec{H}\) ortogonal al vector \(\vec{r}\), por lo que se cumple que.
proyección del vector H en el vector r

Si decimos que:
Magnitud de H es igual a omega

Entonces la terna \(\left(\omega,\theta,\alpha\right)\), expresada en coordenadas cilíndricas \(\left(r,\theta,z\right)\), es.
Relación entre coordenadas cilíndricas y esféricas

Si observamos la gráfica (1), podemos observar que se cumple que.
proceso de transformar las coordenadas esféricas a rectangulares

Pero \(r\) es igual a \(\omega\sin{\alpha}\), por tanto la expresión anterior se transforma en la relación de las coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares.
Coordenadas esféricas expresadas en coordenadas rectangulares

\(\omega\) es una distancia positiva, \(\theta\) es el ángulo normal usado en coordenadas cilíndrica con \(r\geq 0\), mientras \(\alpha\) va desde el eje positivo de \(z\) hasta el vector \(\vec{H}\) como muestra la figura (1), este ángulo está definido en el intervalo \(0\leq\alpha\leq\pi\).
Dicho todo lo anterior procederemos ahora a resolver algunos ejercicios,  de convertir coordenadas esféricas a rectangulares y viceversa.
1--Convertir el punto \(\left(4,\pi/3,\pi/4\right)\) a coordenadas rectangulares y cilíndricas.
Solución:
Para resolver este ejercicio usaremos las relaciones desarrolladas anteriormente, que nos permiten convertir coordenadas esféricas a rectangulares.
Ejercicio donde se transforman coordenadas esféricas a rectangulares

Para obtener este punto, pero ahora en coordenadas cilíndricas, utilizaremos la relaciones desarrolladas anteriormente con este propósito.
Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas

2—Transformar el punto \(\left(4,2,3\right)\) de coordenadas rectangulares a esféricas.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras sabemos que:
distancia del centro de coordenadas en el espacio a un punto (x,y,z)

Sabemos por las coordenadas cilíndricas que \(\theta\) es igual a:
fórmula para obtener el ángulo teta

Y también sabemos por la deducción de coordenadas esféricas a rectangulares que:
Fórmula para obtener el ángulo alfa

Con todo esto podemos entonces transformar el punto \(\left(4,2,3\right)\) a coordenadas esféricas.
punto en coordenadas esféricas equivalente a su igual en coordenadas esféricas

3—Transformar la ecuación de una esfera de coordenadas rectangulares a esféricas.
Ecuación de una esfera con radio a

Solución:
Para dar solución a este ejercicio vamos a usar la relación existente entre coordenadas rectangulares y esféricas que hemos venido utilizando, por ejemplo la distancia \(\omega\) es igual por el teorema de Pitágoras a.
definición de la distancia omega

Y si dos cantidades son iguales a una tercera entonces estas dos cantidades son iguales.
la distancia omega es igual a la longitud del radio a

Por tanto la ecuación de una esfera en coordenadas esféricas es.
Ecuación de una esfera en coordenadas esféricas

Vea también

Coordenadas cilíndricas.

viernes, 17 de noviembre de 2017

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

En este post vamos abordar el volumen de una esfera, en esta ocasión usando integrales triples y coordenadas cilíndricas, como se señaló en el artículo [Coordenadas cilíndricas], las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares a tres dimensiones, es por ello que un pequeño volumen diferencial expresado en coordenadas cilíndricas es.
diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas

Que gráficamente se ve así.
gráfico entramado de un porción de volumen en coordenadas cilíndricas

Así que el volumen puede quedar expresado así.
volumen expresado con triple integral y coordenadas cilíndricas

Así que la región sólida cilíndrica que utilizaremos para encontrar el volumen de una esfera la tomamos como se muestra a continuación.
Región sólida en coordenadas cilíndricas sobre la cual encontraremos el volumen de una esfera de radio a

Recordemos que la ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares es:
Ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares

Y para expresarla en coordenadas cilíndricas se realiza el siguiente proceso.
Ecuación de una esfera expresada en coordenadas cilíndricas

Donde \(z\) positiva representa la mitad superior de la esfera y \(z\) negativa la mitad inferior de la esfera, por lo que.
\(-\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\leq z\leq\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\)
Dicho todo lo anterior procedamos con el proceso de integración triple, con coordenadas cilíndricas sobre la región sólida Q dada en la expresión (1).
Volumen de una esfera de radio a, con triple integral y coordenadas cilíndricas

Lo primero que haremos es realizar la integración en el mismo orden de los diferenciales de \(z\), \(r\) y \(\theta\), así que empezaremos con la variable \(z\).
Proceso de integración de la variable z

Ahora pasamos a integral la variable \(\theta\), para este proceso sacaremos esta integral interna por separado de la integral doble y aplicaremos la técnica de cambio de variable y redefiniremos el intervalo de integración, todo este proceso se muestra continuación.
Proceso de integración de la variable r, en conjunto con la técnica de integración, cambio de variable

Ahora sustituimos el valor de la integral obtenida en la integral doble y procedemos a simplificar la integral que nos falta para así obtener el volumen de una esfera con radio \(a\).
Proceso de integración de la variable theta

Queda demostrado que usando integrales triples y coordenadas cilíndricas el volumen de una esfera con radio \(a\) es.
volumen de una esfera de radio a, usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

Vea también.

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares.

Volumen de una esfera usando integrales dobles.

Volumen de una esfera usando una sola integral.

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares.