enero 2017 - Matemática y Física

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jueves, 26 de enero de 2017

Equilibrio y condiciones de equilibrio

Vamos a hablar en este post sobre lo que es el equilibrio desde el punto de vista de la física.
Lo primero que debemos decir es que un cuerpo se considera en equilibrio si las fuerzas externas que actúan sobre este no causan ni traslación ni rotación.
Esto significa que para que un cuerpo esté en equilibrio deben de cumplirse dos condiciones; la primera es que se cumpla la primera ley de Newton, es decir que todas las componentes de fuerzas que actúen sobre un cuerpo su suma vectorial y cuantitativa sea cero.
Condición de equilibrio 1
La segunda condición es que todos los momentos de torsión o torques en cualquier punto de un cuerpo en equilibrio su suma vectorial y a nivel de magnitudes debe también ser igual a cero, así siempre en física el momento de torsión se representa por la letra griega (Tau \(\tau\)).
Condición de equilibrio 2
El momento de torsión es un vector y este es perpendicular tanto al brazo de palanca como a la fuerza que actúa sobre este brazo de palanca, debemos decir que se considera el brazo de palanca a la distancia a la que se aplica la fuerza respecto de un punto del cuerpo, a este punto respecto del cual se aplica la fuerza en física se le conoce como el punto de torque o pivote.
El momento de torsión también se define como el producto vectorial del vector que representa la distancia a la que se aplica una fuerza y el vector fuerza.
Vector momento de torsión
La siguiente gráfica muestra el punto de torque \(P\) o pivote, el vector brazo de palanca \(\vec{l}\) y la fuerza torcedora \(\vec{F}\).
Dibujo de una grúa
Si una fuerza cuya magnitud es \(F\) actúa perpendicular a un brazo de palanca cuya magnitud es \(l\), entonces el momento de torsión queda definido como el producto de estas magnitudes.

Si hacemos un diagrama de cuerpo libre mas simple de la imagen de arriba y descomponemos la fuerza en dos componentes.
Diagrama de cuerpo libre de la grúa
El momento de torsión es máximo cuando la fuerza actúa perpendicular al brazo de palanca y es mínimo o igual a cero cuando la fuerza actúa paralela al brazo de palanca, es decir el momento de torsión depende del ángulo que forman el vector distancia de apoyo o brazo de palanca y la fuerza, en el diagrama de cuerpo libre anterior se puede observar que el momento de torsión es \({F}_{y}l\), pero \({F}_{y}\) es igual  a \(Fsin{\alpha}\) y la magnitud del momento de torsión entonces queda definida como.
Magnitud del vector momento de torsión
Esto nos dice que si una fuerza actúa paralela a el brazo de palanca de un punto pivote, independientemente de donde se aplique esta fuerza no contribuirá al momento de torsión ya que en este caso \(\alpha=0\) y por tanto \(Flsin{{0}^{\circ}}\) es igual a cero, mientras que si una fuerza actúa perpendicularmente al brazo de palanca del punto pivote su torsión sobre un punto pivote a una distancia \(l\) es \(Fl\) ya que el ángulo para este caso es de \({90}^{\circ}\)\(\sin{{90}^{\circ}}=1\).
Así que si \(\alpha\) es el ángulo entre los vectores \(\vec{l}\)\(\vec{F}\) y si \(l\)\(F\) son las magnitudes del vector fuerza y el vector palanca, entonces el momento de torsión es.
Magnitud del vector momento de torsión
Si dos fuerzas con misma magnitud \(F\) son paralelas y actúan en direcciones opuestas pero perpendiculares respecto a un punto pivote O que está a una distancia \(r\) respecto a un punto O entonces los respectivos momentos de torsión son opuestos, y podemos tomar un momento negativo y otro positivo \(-Fr\)\(Fl\).
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Así que podemos concluir que que el momento de torsión respecto a este punto es igual a cero ya que.
\(\sum\tau=Fr-Fr=0\)
Y el cuerpo estaría en equilibrio rotacional ya que no habría tendencia a girar ni hacia arriba ni hacia abajo.
Ahora bien si las magnitudes de dichas fuerzas fueran de diferentes magnitudes entonces la torsión respecto a O es.
\(\sum\tau={F}_{1}r-{F}_{2}r=\left({F}_{1}-{F}_{2}\right)r\)
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y si \({F}_{1}>{F}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a moverse o a girar respecto a O hacia arriba, mientras que si \({F}_{1}<{F}_{2}\) el objecto tendrá tendencia a girar respecto a O hacia abajo.
No obstante si la fuerzas son de igual magnitud \(F\) y estas son aplicadas en diferentes puntos \({r}_{1}\)\({r}_{2}\), entonces el momento de torsión será diferente de cero es decir.
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y en este caso si \({r}_{1}>{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia arriba, mientras que si \({r}_{1}<{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia abajo.

Bueno y dicho esto vamos a ver un pequeño problemita que ilustra bien lo que es un objecto en equilibrio estático.

Halla el punto \(x\) de equilibrio respecto de la masa de 20kg donde se debe colocar el objecto de forma triangular, si las masas de 20kg y 50kg que conforman el sistema están separadas 10m y si consideramos la masa de la tabla morada como insignificante.
Masas en equilibrio estático
Solución:
Tomamos \({m}_{1}=20kg\)\({m}_{2}=50kg\)\(r=10m\), así que las fuerzas que actúan sobre este sistema se deben a la gravedad, entonces consideramos \({w}_{1}\) como el peso de \({m}_{1}\)\({w}_{2}\) el peso de \({m}_{2}\), y podemos observar que la masa \({m}_{1}\) está a una distancia \(x\) del punto de equilibrio, y \({m}_{2}\) entonces está a una distancia \(r-x\) del punto de equilibrio.
Los momentos de torsión que los pesos \({w}_{1}\)\({w}_{2}\) son \({\tau}_{1}={w}_{1}x\) y \({\tau}_{2}={w}_{2}\left(r-x\right)\) respectivamente, y si aparte de esto consideramos positivos los momentos de torsión que tienden a hacer girar el sistema en sentido antihorario, y negativos los que tienden a hacer girar el sistema en el sentido horario, entonces \({\tau}_{1}\) es positivo y \({\tau}_{2}\) es negativo.
Por último hacemos la sumatoria de los dos momentos de torsión y aplicamos la segunda condición de equilibrio para entonces hallar la variable meta \(x\) que representa la distancia respecto a la masa de 20kg donde el sistema está en equilibrio, todos los cálculos se muestran a continuación.
Encontrando el punto de equilibrio del sistema

Y el punto de equilibrio del sistema se encuentra a 7.14m de \({m}_{1}\).
Algo bien curioso es que en el artículo [punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las circunferencias], hallamos que el punto de intersección era.
Punto de intersección de una recta tangente a dos circunferencias y una recta que pasa por el centro de ambas
Y resulta que este punto se corresponde con la distancia a la que se encuentra el punto de equilibrio respecto a la masa mayor \({m}_{2}\), si igualamos \({r}_{1}={m}_{1}\) y \({r}_{2}={m}_{2}\), entonces la distancia \(x\) a la que  se encuentra \({m}_{2}\) del punto de equilibrio es.
Distancia del punto de equilibrio respecto de la masa m2
!Curioso, bien curioso¡

Vea también

Centro de masa

Producto vectorial

Primera ley de Newton

miércoles, 18 de enero de 2017

Punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las dos circunferencias

En este post traemos a este blog la resolución de un problema, en el trabajarán juntos el cálculo y la teoría de una línea recta en el plano [en especial la pendiente y la ecuación de la recta [y=mx+b].
Así que sin más preámbulos veamos el problema.
Hallar la distancia \(c\) respecto del centro de una circunferencia \({C}_{1}\) a la que una recta tangente a esta y a otra circunferencia \({C}_{2}\)´intercepta la recta que une los centros de estas circunferencias como muestra la imagen.
Rectas tangentes a dos circunferencias que interceptan la recta que une los centros
Para mas simplicidad hemos tomado el centro de \({C}_{1}\) en el punto \(\left(0,0\right)\) y el centro de \({C}_{2}\) en el punto \(\left(r,0\right)\), y supondremos que la recta \(l\) intercepta la recta que une los dos centros de las circunferencias que en este caso especial es el eje x, por lo que si encontramos este punto de intersección el problema queda resuelto, ya que conoceríamos el valor de \(c\) que es la distancia respecto de la circunferencia \({C}_{1}\) a la que la recta tangente tanto a \({C}_{1}\) como a \({C}_{2}\) intercepta el la recta que pasa por los dos centros.
Solución:
Primero plateamos las ecuaciones que representan \({C}_{1}\)\({C}_{2}\) y despejamos \(y\), luego buscamos una ecuación para la pendiente en cualquier punto \(x\) de ambas circunferencias que se reduce simplemente a encontrar las derivadas de \(y\) respecto de \(x\).
Ecuaciones de las circunferencias
Como \(l\) es tangente a \({C}_{1}\) por arriba del eje \(x\) tomamos entonces la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 1 por arriba del eje x
Como \(l\) es tangente a \({C}_{2}\) por debajo del eje \(x\) tomamos la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 2 por debajo del eje x
Así que ahora obtenemos las derivadas de \({C}_{1}\)\({C}_{2}\).
Derivadas de ecuaciones de circunferencias
Ahora hallamos las dos formas posibles que puede tener la ecuación de la recta \(l\), dado que tenemos dos ecuaciones generales de pendientes pero un solo punto por donde la recta \(l\) debe pasar \(\left(c,0\right)\).
Ecuación de la recta l
Ahora encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{1}\).
Punto de tangencia de circunferencia 1

Ahora también encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{2}\).
Punto de tangencia de circunferencia 2
Punto de tangencia de circunferencia 2
Ahora calculamos la pendiente de la recta \(l\) tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{1}\)\({p}_{1}\).
Pendiente de recta l
Ahora encontramos la pendiente para \(l\), tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{2}\)\({p}_{2}\).
Pendiente de recta l
Por último como \({m}_{1}\)\({m}_{2}\) representan la misma pendiente de la recta \(l\), igualamos \({m}_{1}={m}_{2}\) para hallar el valor de \(c\) que es lo que nos interesa.
Valor de c
Valor de c
Resolvemos la ecuación cuadrática para hallar \(c\).
Valor de c

Y tomando \(c\) como el valor positivo \({c}_{1}\), tenemos que la distancia respecto a la circunferencia \({C}_{1}\), a la que la recta \(l\) intercepta la recta que pasa por los centros de dos circunferencias con radios \({r}_{1}\)\({r}_{2}\) y cuyos centros están separados una distancia \(r\) es.
Valor de c

Vea también

Ecuación de la recta

Reglas básicas de derivadas

Depeje de una variable

viernes, 13 de enero de 2017

Onda estacionaria en un plano xy

Vamos a ver en este artículo como deducir de una manera no tan compleja la ecuación que describe matemáticamente una onda mecánica estacionaria, en este artículo analizaremos una onda estacionaria que está compuestas de dos ondas viajeras, una se conoce como onda viajera incidente, y la otra se conoce como onda viajera reflejada.
Las ecuaciones que describen una onda incidente \({y}_{a}\) y una reflejada \({y}_{b}\) vienen dada por las ecuaciones respectivas.

El siguiente gráfico muestra las ondas incidente (verde) y reflejada (púrpura) en un instante \(t\).
Onda-incidente-y-reflejada
Ahora bien sabemos que estas ondas son parte de algo más grande, como lo es una onda estacionaria, así que lo que haremos es usar estas dos ecuaciones incidente y reflejada para obtener la ecuación de onda estacionaria.
Para esto representaremos tanto la onda incidente como reflejada como fasores en el plano cartesiano, siendo la magnitud de los fasores de las dos ondas igual a A, el fasor de la onda incidente lo giramos un ángulo \(kx-wt\), mientras el ángulo del fasor de la onda reflejada es \(kx+wt\) , la diferencia entre estos dos ángulos es \(\Delta\beta=2wt\), mientra el fasor resultante de sumar vectorialmente los fasores, C, está a un ángulo \(\alpha=kx\) del eje \(x\).
Gráfico-de-los-fasores-de-onda
Para obtener el fasor resultante C usaremos la ley de los cosenos todo el proceso se muestra a continuación.
Obtención del fasor resultante C

Ahora aplicamos el seno de la mitad de un ángulo.
Obtención del fasor resultante C
Ahora observamos en la siguiente gráfica que el seno de ángulo \(\alpha\) es.
Obtención de la ecuación de onda estacionaria
Obtención de la ecuación de onda estacionaria
Y la ecuación de una onda mecánica estacionaria es.

La siguiente gráfica muestra la onda incidente (verde), la onda reflejada (púrpura) y la onda estacionaria (blanca).
Gráfico de la onda incidente, reflejada y estacionaria

Vea también

Ley de los cosenos

Reflexión en una parábola

martes, 10 de enero de 2017

Solución de un problema usando la primera y la segunda ley de Newton 01

Vamos en este post a combinar los conocimientos de la primera y segunda ley de newton en la solución de un problema.
El objeto A de la figura 1 tiene una masa de 5kg, y el B 13kg, si el coeficiente de fricción cinética entre el objeto B y la superficie horizontal es 0.50. a)¿Cuál es la masa del objeto C si B se desplaza a la derecha con una aceleración de 3m/s2?b)¿Cuál es la tensión en la parte derecha e izquierda de la cuerda?
figura-1
Solución:
En este problema tenemos tres variables metas \({m}_{C}\), la tensión izquierda \({T}_{i}\) y la tensión derecha \({T}_{d}\), así que vamos a necesitar como mínimo tres ecuaciones que relacionen estas variables, y con esto en mente vamos a graficar los diagramas de cuerpos libres del objeto A, B y C.
Diagramas-de-cuerpos-libres
Tomaremos las fuerzas que actúen en la misma dirección de la aceleración del sistema como positiva y las que no como negativas, haremos la sumatoria de las fuerza que actúan sobre cada objeto y le aplicaremos la segunda ley de Newton, aplicando la segunda ley de Newton al objecto A tenemos.
Ecuación-para-el-objeto-A
Obtenemos el peso normal \(n\) aplicando la primera ley de Newton, y buscamos una relación de las fuerzas que actúan sobre B aplicando la segunda ley de Newton, vemos en los diagramas de cuerpo libre de más arriba que \({T}_{d}\).actúa en la misma dirección que la aceleración así que la consideramos positiva, como \({T}_{i}+{f}_{k}\) actúan en dirección contraria las consideramos negativas, todo se muestra a continuación.
Ecuación-para-el objeto-B
Aplicando la segunda ley de Newton al objecto C tenemos que como el peso \({m}_{C}g\) de C actúa en la misma dirección de la aceleración del sistema lo tomamos como positivo mientras que \({T}_{d}\) la tomamos negativa, así que haciendo la sumatoria de estas fuerzas y aplicando la segunda ley de Newton tenemos.
Ecuación-para-el-objeto-C
Y las tres expresiones que relacionan la masa del objeto C \({m}_{C}\), la tensión izquierda \({T}_{i}\) y la tensión derecha \({T}_{d}\) son.
Ecuaciones-de-los-tres-objetos-A,-B-y-C
Pero si le sumamos el miembro izquierdo de la ecuación para el objeto A al miembro izquierdo de la ecuación para el objeto B y también le sumamos el miembro derecho de la ecuación para el objeto A al miembro derecho de la ecuación B el sistema se nos reduciría a dos ecuaciones.
Reducción-de-tres-ecuaciones-a-dos
Y resolviendo este sistema de ecuaciones para la variable \({m}_{C}\) vamos a tener.
Obteniendo-la-masa-del-objeto-C
Ahora como la masa del objecto A es 5kg, la masa B 13kg, la aceleración 3m/s2 y la gravedad 9.8m/s2, sustituimos estos datos en la expresión encontrada.
Obteniendo la masa del objeto C

Y ahora vamos a calcular la tensión izquierda \({T}_{i}\) y la tensión derecha \({T}_{d}\).
Cálculo de las tensiones izquierda y derecha de la cuerda
Cálculo de las tensiones izquierda y derecha de la cuerda
En conclusión la masa de objeto C es 24.5kg, la tensión izquierda es de 64N y la tensión derecha es de 166.6N.

Vea también

Solución de problemas con las leyes de Newton

Método de reducción para resolver un sistema de ecuación