febrero 2017 - Matemática y Física

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viernes, 24 de febrero de 2017

Potencia y trabajo

En este post hablaremos de las diferentes maneras de obtener el trabajo y la potencia desarrollada en un movimiento, en el que la fuerza es tangente a la trayectoria de una curva.
Si consideramos que una fuerza constante \(F\) es aplicada a una curva circular una distancia \(\Delta s\), entonces el trabajo \(\Delta w\) realizado por esta fuerza es.


El trabajo es considerado un escalar ya que observando la imagen del circulo podemos demostrar que \(\vec{F}\cdot \Delta \vec{s}\)
es igual a \(F\Delta s\), si el vector fuerza se descompone en dos componentes vertical \(F\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(F\cos{\theta}\vec{j}\) , si también descomponemos el vector desplazamiento en su vertical \(\Delta s\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(\Delta s\cos{\theta}\vec{j}\), realizando el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento tenemos.


Pero \(\Delta s= r\cdot \Delta \theta\), así que una pequeña cantidad de trabajo \(\Delta w\) es entonces igual a \(Fr\Delta \theta\), así que si dividimos ambos miembros de esta ecuación entre \(\Delta t\), obtendremos la potencia media.

Por lo que muestran las fórmulas se puede decir que la potencia media es igual al incremento de trabajo entre el incremento del tiempo.
Por lo que un trabajo diferencial que es realizado por una fuerza tangente a la trayectoria de una curva es entonces.

La potencia instantánea la obtenemos aplicando límites cuando \(\Delta t\) tiende a cero a ambos lados de la expresión que representa la potencia media.

Así que la potencia instantánea es igual a la tasa de cambio del trabajo respecto del tiempo, también la potencia instantánea se puede definir matemáticamente como la derivada del trabajo respecto del tiempo.
Ahora bien si despejamos \(dw\) de la potencia instantánea y aplicamos integrales a ambos lados, obtenemos el trabajo realizado por una fuerza tangente a una trayectoria curva en un intervalo de tiempo determinado.

Por lo que si la potencia es constante en un intervalo de tiempo \(\Delta t={t}_{2}-{t}_{1}\), entonces el trabajo realizado es.

Por lo que si tomamos \({t}_{2}=t\)\({t}_{1}=0\) entonces \(\Delta t=t\) y el trabajo es.

Ahora bien la potencia instantánea que desarrolla una fuerza tangente a un circulo con radio \(r\) es entonces igual.

Así que una fuerza tangente y constante aplicada a un objecto que se mueve con velocidad angular variable \({w}_{z}\) en una trayectoria circular de radio \(r\), produce una potencia igual a.

Pero observamos que \(F\cdot r\) es el momento de torsión \(\tau\), así que la potencia la podemos reescribir también como.

Dicho todo esto vamos a resolver algunos ejercicios relacionados con trabajo y potencia.

a)¿Cuánto trabajo medio realiza una persona que levanta verticalmente una masa de 20kg una distancia de 1.3m? b) Si tarda 5 segundos ¿Qué potencia media desarrolla en watt y hp?
Solución (a):
La persona levanta una masa de 20kg, para poderla levantar esta persona deberá aplicar una fuerza equivalente al peso, y el ejercicio nos da la distancia que es movida la masa 1.3m, por tanto con estos datos podemos calcular el trabajo medio realizado.

Ya conocemos el trabajo medio 254.8 Joules.
(b) Conociendo el trabajo medio, y el tiempo promedio en que se realiza este trabajo es de 5 segundo, con estos datos podemos calcular la potencia media en watts y hp.

Y la potencia media en watts y hp o caballos de fuerzas es de 50.96watts y 0.068hp respectivamente.

Si sabemos que un motor desarrolla una potencia media de 400 caballos de fuerzas(hp) que le otorga una velocidad angular media de 500RPM. ¿Que momento de torsión desarrolla?
Solución:
Lo primero que hacemos es convertir los caballos de fuerza a watts y las revoluciones por minutos(RPM) las convertimos en rad/s, y ya luego calculamos el momento de torsión.

Ya hicimos las respectivas conversiones, así que ahora nos avocamos a obtener el momento de torsión \(\tau\).

Y el momento de torsión es de 5683.8N·m

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Desafío de física

viernes, 10 de febrero de 2017

Solución de un problema usando la primera y la segunda ley de Newton 02

Vamos en este post a seguir trabajando en la soluciones de problemas que involucran la primera y la segunda ley de Newton.
Si el sistema que se muestra en la gráfica se mueve hacia la derecha con velocidad constante, y consideramos que el objecto A y B pesan ambos 26N y el coeficiente de fricción cinética de A y B es 0.40, y asumimos que la cuerda que une los cuerpos A, B y C es insignificante. a) Obtenga el diagrama de cuerpo libre de A, B y C
b) ¿Cuánto pesa el cuerpo C? c) Si se cortara la cuerda que une A y B ¿Qué aceleración experimentarían B y C?
Sistema de objectos en movimiento
Solución (a):
Sobre el objecto A actúan 4 fuerzas, la fricción \({f}_{k-A}\), la tensión \({T}_{AB}\), el peso \({w}_{A}\) y el peso normal \(n\), sobre el objecto C solo actúan dos fuerzas el peso \({w}_{C}\) y la tensión \({T}_{BC}\), y por último sobre el cuerpo B actúan las fuerzas perpendiculares al plano donde se encuentra el cuerpo B \({n}_{B}\)\({w}_{B}cos{{40}^{\circ}}\), paralelas al plano actúan \({T}_{BC}\)
\({f}_{k-B}+{w}_{B}sin{{40}^{\circ}}+{T}_{AB}\).
Diagramas de cuerpos libres de A, B y C
Solución (b):
Nota: tomaremos siempre como negativas las fuerzas que actúan en sentido contrario a la dirección en que se mueve el sistema que es hacia la derecha.
Como los objectos se mueven a velocidad constante, podemos aplicar la primera ley de Newton al objecto A y obtener la tensión de la cuerda que une A y B.
Tensión en la cuerda que une A y B
Ya sabiendo que \({T}_{AB}=10.4N\), pasamos ahora a encontrar la tensión \({T}_{BC}\), como el cuerpo B también se mueve con velocidad constante también le aplicaremos la primera ley de Newton.
Tensión en la cuerda que une B y C
Y ya teniendo \({T}_{BC}=35.08N\) podemos averiguar cuánto pesa el objecto C, para esto vamos a aplicar la primera ley de Newton al objecto C.
Peso del objecto C
Y el objecto C pesa 35.08N aproximadamente.
Solución (c):
Si se corta la cuerda que une A con B, evidentemente como el peso C es mayor que las fuerzas que actúa paralelas al plano de B se creará una aceleración que afectará a B y C por igual, así que para calcular esta aceleración tomaremos \({T}_{AB}=0\) y calcularemos la masa de B y C dividiendo los pesos \({w}_{B}\) y \({w}_{C}\) entre \(g\), y aplicaremos la segunda ley de Newton.
Aceleración de B y C
Como se puede observar solo nos queda resolver el sistema de ecuaciones para así obtener la aceleración \(a\).
Aceleración de B y C
Y la aceleración es de 1.67m/s2.

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Solución de un sistema de ecuaciones

martes, 7 de febrero de 2017

Medida de la circunferencia de la tierra según Eratóstenes

Bueno vamos a ver en este post como pudo el matemático griego Eratóstenes medir aproximadamente la longitud de la circunferencia de la tierra.
Decimos aproximadamente ya que en sus cálculos por ejemplo Eratóstenes asume que la tierra es perfectamente esférica, lo que hoy día sabemos que no es así.
Aunque para la época en que Eratótenes hizo estos cálculo, se puede pasar por alto cualquier posible error en las apreciaciones y mediciones del globo terráqueo.
Y dicho esto vamos a analizar los pasos básicos que dio Eratóstenes que le llevaron a la conclusión de que la circunferencia terrestre mide aproximadamente 250,000 estadios.
Longitud de un arco de un círculo
Si conocemos la longitud \(S\) de una circunferencia y conocemos el ángulo \(\beta\) que un arco \(\Delta s\) suscribe como muestra la figura, sabiendo que un giro completo de una circunferencia mide \({360}^{\circ}\), entonces \(\Delta s\) viene dado por la fórmula.
Longitud de un arco de un círculo
Resulta que mediante trabajos de campo Eratóstenes averiguó que la longitud \(\Delta s\) que representa la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, el se dio cuenta de que en una temporada del año los rayos solares impactaban perpendicularmente la superficie de la cuidad de Siena, así que en esa misma temporada el científico clavó una vara en la ciudad de Alejandría, dándose cuenta de que la vara proyectaba una sombra, Eratóstenes entonces midió con las herramientas de su época el ángulo respecto a la longitud de la vara a la que se proyectaba la sombra, y la pregunta es ¿Por que midió la longitud de este ángulo?
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Resulta que el ángulo \(\theta\) es el mismo ángulo al que se encuentra Siena de Alejandria, según sus suposiciones los rayos solares se transmiten paralelos entre si, pero perpendiculares a la superficie de la cuidad de Siena, así que si se considera la tierra perfectamente esférica, entonces podemos demostrar que el ángulo \(\beta\) que muestra la siguiente figura es igual al ángulo \(\theta\).
Rayos solares incidiendo en la superficie
El rayo A rojo forma un ángulo \(\theta\) con la vara en Alejandria y a su vez observamos que \(\theta\) es un ángulo del triángulo rectángulo \(\Delta AEO\),entonces hallando las relaciones para el ángulo \(z\) demostraremos que \(\theta=\beta\).
Demostración de que theta es igual a beta
Y sabiendo esto procedemos a despejar \(S\) de la relación dada al principio de este artículo que nos permite calcular una pequeña porción de longitud de una circunferencia \(\Delta s\).
Longitud completa de una circunferencia
Y según el artículo de wikipedia [Historia de Eratóstenes], Eratóstenes obtuvo \(\beta={7.2}^{\circ}\) como la separación angular entre Siena y Alejandria, y \(\Delta s=5000\)estadios como la distancia entre ambas, así que con estos datos podemos confirmar la medida que obtuvo Eratóstenes para la circunferencia terrestre que fue de \(S=250000\)estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes
Pero Erastóstenes según cuenta la historia rectificó el ángulo entre Siena y Alejandria en \(\beta={7.14}^{\circ}\), así que con este cambio la nueva longitud de la circunferencia que obtuvo fue de 252000 estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes