marzo 2017 - Matemática y Física

Busca el tema de tu interés

martes, 28 de marzo de 2017

Ángulo central, inscrito, externo e interno a una circunferencia

En este post vamos a analizar las características de los ángulos que están relacionado con la curva de la circunferencia de un círculo, así que vamos a estar hablando de un ángulo central en una circubferencia, un ángulo inscrito en una circunferencia y además de un ángulo externo a una circunferencia cuyos rayos tocan la circunferencia.
Ángulo central
Es un ángulo cuyo vértice está localizado en el centro de una circunferencia. Este ángulo tiene una medida igual al arco que describen los rayos en la circunferencia.
Ángulo-central-de-una-circunferencia
La medida del ángulo central \(\angle AOB\) es igual a la medida del arco \(\widehat{AB}\).
\(m\angle AOB=m\widehat{AB}\)
Ángulo inscrito en una circunferencia
Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.
Para obtener la expresión matemática que nos permite calcular la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-inscrito-en-una-circunferencia
En la figura se lanza una línea auxiliar desde el punto A al punto O, esto nos permite conformar el triángulo isósceles \(\Delta AOB\) cuyos ángulos de la base son igual a \(\theta\).
Lo primero que haremos es sumar los ángulos internos del triángulo isósceles \(\Delta AOB\) y despejaremos el ángulo \(\gamma\).
Suma-de-los-ángulos-internos-de-AOB
Pero el ángulo \(\gamma\) forma un par lineal con el ángulo \(\alpha\) por lo que su suma es de 180º, en esta nueva expresión sustituimos el anterior despeje de \(\gamma\), para así obtener  una relación entre el ángulo inscrito en la circunferencia \(\theta\) y el ángulo central \(\alpha\), todo esto se muestra continuación.
Medida-de-ángulo-inscrito
Pero \(\alpha\) es un ángulo central así que su medida es igual a la medida del arco \(\widehat{AC}\), por lo que la expresión anterior la podemos reescribir así.
 Medida-de-ángulo-inscrito
En conclusión un ángulo cuyo vértice está inscrito a una circunferencia su medida es igual a la mitad del arco que describe.
Medida-de-ángulo-inscrito
Ángulo externo a una circunferencia
Es un ángulo cuyo vértice es externo a una circunferencia pero cuyo rayos interceptan o tocan la circunferencia.
Para conocer la medida de un ángulo con estas características nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-externo-a-una-circunferencia
Ante de todo, lanzamos la línea auxiliar BD, delimitando así el triángulo \(\Delta ABD\) cuyos ángulos son \(x\)\(y\)\(z\), y aparte de esto la línea auxiliar nos permite obtener el ángulo inscrito \(\angle BDC\) en la circunferencia. Lo primero que hacemos es sumar los ángulo internos en el triángulo \(\Delta ABD\), que como sabemos son igual a 180º, y despejamos el ángulo \(y\) que es el ángulo externo a la circunferencia cuya medida queremos averiguar.
Suma-de-los-ángulos-internos-de-BDC
Pero también observamos que los ángulos \(z\) y \(s\) forman un par lineal así que su suma también es 180º, así que despejamos el ángulo \(z\) y sustituimos su valor en el despeje del ángulo \(y\).
Deducción-de-ángulo-externo
Y observamos en la gráfica de mas arriba que \(s\)\(x\) son dos ángulos inscritos en la circunferencia cuyas medidas identificamos que son iguales a la mitad de los arcos que describen, así que el ángulo \(y\) es igual a.
Deducción-de-ángulo-externo
Así que la medida de un ángulo externo a una circunferencia cuyos rayos tienen contactos con esa circunferencia es igual a la semi diferencia de los arcos que describen los rayos en la circunferencia.
Medida-de-un-ángulo-externo-a-una-circunferencia
Ángulo interno en una circunferencia
Un ángulo interno en una circunferencia es aquel cuyo vértice se encuentra en el interior de la circunferencia.
Para obtener una relación que nos permita obtener la medida de un ángulo interior en una circunferencia nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-interno-a-una-circunferencia
Lo primero que hacemos es dibujar la línea auxiliar AD, esto nos permite delimitar el triángulo \(\Delta AOD\), así que igualamos la suma de los ángulos internos de este triángulo a 180º, y como el ángulo \(x\)\(k\) forman un par lineal su suma es igual también a 180º, así que despejamos \(x\) y la sustituimos en la expresión de la suma de los ángulos internos del triángulo \(\Delta AOD\) y de esta manera despejar el ángulo \(k\), que es el ángulo interno en la circunferencia cuya medida queremos averiguar.
Deducción-de-la-medida-de-ángulo-interior-a-una-circunferencia
Y como sabemos la medida de los ángulos \(y\)\(z\), son igual a la mitad de los arcos que describen, así que el ángulo \(k\) es igual a.
Deducción-de-la-medidade-ángulo-interior-a-una-circunferencia
Entonces la medida de un ángulo interior \(k\), que cuyas extensiones de sus rayos describen los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), es igual a la media de las medidas de estos arcos.
Medida-de-ángulo-interior-a-una-circunferencia
En una segunda fase de este artículo estaremos viendo varios ejercicios resueltos sobre estos temas.

Problemas resueltos

Problemas resueltos 2