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lunes, 3 de abril de 2017

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia y problemas resueltos

Vamos en este post a ver como se aplican los conceptos, ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia a la resolución de ejercicios y problemas, así que para una mayor comprensión de los ejemplos les recomiendo ver el artículo [Ángulo central, inscrito, interior y exterior a una circunferencia].
Y sin más preámbulos comencemos...
1) Si los ángulo \(x\)\(y\) siguen las direcciones que se muestran figura 1.
a) Si \(x\) mide 20º y el ángulo \(y\) mide 60º ¿Cuántos grados miden los arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\)?
b) Encontrar una fórmula para los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), en función de los ángulos \(x\)\(y\).
figura 1
Solución:
Como \(x\) es un ángulo externo a la circunferencia de la figura 1, vamos a utilizar la fórmula que nos permite calcular la medida de este ángulo en función de la medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como \(y\) es un ángulo interior a la circunferencia vamos a usar la relación matemática que nos permite calcular su medida en función de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como se puede observar en la figura 1, los rayos de los ángulos \(x\) e \(y\) pasan o describen los mismos arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\).
Fórmulas-de-los-ángulos-internos-y-externo-a-una-circunferencia
Así que sustituiremos \(m\angle x\) por 20º y \(m\angle y\) por 60º, y formaremos un sistema de ecuaciones en donde las variables metas seran los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\) y resolvemos nuestro sistema de ecuación por el método de reducción.
Resolución-de-problema-1
Ahora sustituimos el valor de \(m\widehat{CD}\) en la expresión \(m\widehat{CD}+m\widehat{AB}={120}^{\circ}\) para obtener \(m\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) miden 40º y 80º respectivamente.
b) Al igual que la solución a la parte a) vamos a encontrar una relación matemática para el arco \(\widehat{DC}\) en función de las medidas de los ángulos \(x\)\(y\), vamos a sumar las fórmulas que se usan para calcular los ángulos \(x\)\(y\), ya que esto nos permite eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\) en función de las medidas de \(x\)\(y\), a la medida del ángulo \(y\) le restaremos la medida del ángulo \(x\), para de esta manera eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{DC}\).
Resolución-de-problema-1
Y las medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) en función de la medidas de los ángulos \(x\)\(y\) son.
Resolución-de-problema-1
2) Demostrar que si los rayos de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia pasan por el diámetro de esta, entonces estos ángulos miden 90º.
Solución:
Para hacer esta demostración vamos a dibujar tres ángulos 1, 2 y 3 que pasen por la cuerda diametral AB como muestra la figura 2.
figura-2
Y como podemos observar en la figura 2, la medida del arco \(\widehat{AB}\) es igual a la medida del ángulo llano central, y como todos sabemos este ángulo es la mitad de un ángulo con un giro de 360º es decir mide 180º. Con este dato y sabiendo que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a mitad del arco que suscribe, se cumple que las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 son.
Solucion-de-problema-2
Y queda demostrado que cualquier ángulo inscrito cuyos rayos pasen por la cuerda del diámetro mide 90 grados.

Vea también

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia

Problema resuelto 2