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lunes, 29 de mayo de 2017

Límites y propiedades básicas

Siguiendo con las matemáticas detrás del tema de límites, vamos en esta ocasión a tratar las propiedades básicas aplicadas a la simplificación de ejercicios que solicitan el límite de una función, pero para esto primero nos referiremos a las propiedades básicas de límites.
Sabemos que el límite de una función f cuando x se aproxima a un valor c puede existir independientemente de que la función f esté definida en x=c, así que se da el caso de que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a c sea igual a f(c).
Atendiendo a que lo anterior sea cierto osea que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c sea f(c), podemos escribir las propiedades de algunos límites básicos.

Sean \(s\) y \(c\) número reales y \(n\) un número positivo, y sean \(f\) y \(g\) funciones cuyos límites son.
Limite-de-funcion-f(x)-y-g(x)

Límite de una función constante \(f\left(x\right)=k\).
Es igual a la misma constante.
Limite de una funcion constante
Ejemplos
Limite de funciones constante

Límite del producto de una constante y una función.
Es igual a la constante por el límite de la función.
Limite del producto de una constante por una funcion
Ejemplos
Limite del producto de funciones por constantes

Límite de la suma o diferencia de dos funciones.
Es igual a la suma de los límites de ambas funciones o a la diferencias de los límites de ambas funciones.
Limite de la suma o diferencia de dos funciones
Ejemplos
Limite de la sumas o diferencias de funciones

Límite del producto de dos funciones
Es igual al producto de los límites de ambas funciones.
Limite del producto de dos funciones
Ejemplos
Limite del producto de funciones

Límite del cociente de dos funciones.
Es igual al cociente de los límites de ambas funciones, siempre que el límite de la función denominador sea diferente de cero.
Limite del cociente de dos funciones
Ejemplos
Limite del cociente de funciones

Límite de una función elevada a un exponente \(n\) positivo.
Es igual al límite de la función elevada al exponente \(n\).
Limite de una potencia
Ejemplos
Limite de funciones elevadas a exponente n positivo

Límite de una función radical con índice radical par e impar
Si \(n\) es positivo e impar entonces tiene el siguiente límite para cualquier valor real de \(c\).
Limite de una funcion radical con indice impar
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar
Si \(n\) es positivo y par y \(c>0\), entonces el límite es.
Limite de una funcion radical con indice par
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar

Límite de una función compuesta de otra función
Si \(f\) y \(g\) son funciones compuestas de modo que \(f\) es igual a \(f\left(g\left(x\right)\right)\), y el límite de \(g\) es \(\lim_{x\rightarrow c} g\left(x\right)=L\) y \(\lim_{x\rightarrow L} f\left(x\right)=f\left(L\right)\), entonces se cumple que:
Limite de una funcion compuesta
Ejemplos
1- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}\)\(g\left(x\right)=2x+1\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 1} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Primero obtenemos el límite de \(g\).
Limite de una funcion compuesta
2- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}+x\) y \(g\left(x\right)={x}^2\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 2} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Encontramos el límite de \(g\). Luego encontramos el límite de \(f\) cuando \(x\) se aproxima al límite \(L\) de \(g\).
Limite de una funcion compuesta

Límites de las funciones trigonométricas básicas
Son aquellos límites aplicados a funciones trigonométricas.
Limites de funciones trigonometricas
Ejemplos
Limites de funciones trigonometricas
Limites de funciones trigonometricas
Vea también

Definición informal y formal de límites

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