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martes, 26 de septiembre de 2017

Solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

En este artículo vamos a continuar observando el método gauss-jordan aplicado a la solución de un sistema de ecuaciones con tres variables.
Así que vamos a entrar en materia, resolviendo el sistema siguiente:
sistema de ecuación en tres variables
Primero vamos a expresar este sistema en forma matricial:
sistema de ecuación en tres variables en forma matricial
Ahora identificamos las columnas en donde deberemos obtener una matriz unidad que son:
identificación de las columnas de la matriz unidad de tercer orden
Para continuar con la resolución de este sistema de ecuación, tomaremos como nuestra columna de trabajo la columna (1), y tomaremos 2 como nuestro coeficiente pivote, así que dividiremos todos los términos de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, para tener que:
paso 1 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora haremos que los coeficientes debajo del coeficiente 1, sean igual a cero, para esto primero multiplicaremos la fila superior donde se encontraba el coeficiente pivote,  por el negativo del coeficiente debajo de la primera fila, directamente debajo del coeficiente pivote que va a ser 3.
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la segunda fila es decir:
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y ahora hallaremos el segundo cero en la columna (1) correspondiente a la última fila, para esto repetiremos de manera análoga el paso anterior, es decir vamos a multiplicar la  primera fila por el coeficiente negativo de la última fila que intercepta con la columna de trabajo osea la columna (1).
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la última fila de nuestra matriz de datos:
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Como se puede observar en la columna de trabajo (1), el coeficiente pivote se redujo a 1 y los coeficientes debajo de el se redujeron a cero, esto es lo que seguiremos haciendo en la segunda y tercera columna.
Recordemos que los coeficientes pivotes los escogeremos de acuerdo al orden en que se colocan los coeficientes 1, en una matriz unidad \(3x3\), es decir:
Matriz unidad de tercer orden
Así que ahora tomaremos la segunda columna como la columna de trabajo, y tomaremos como nuestro coeficiente pivote 7.5 que corresponde con el coeficiente 1 de la matriz unidad, y dividiremos cada elemento de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 7.5, esto lo hacemos para obtener el 1 de la matriz unidad.
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ya obtuvimos un 1 en la columna de trabajo la columna 2, así que ahora vamos a reducir a cero los elementos por arriba y por debajo del coeficiente 1 donde se encontraba el coeficiente pivote, primero vamos a obtener el cero por arriba de 1, para esto multiplicaremos todos los términos de la segunda fila por el negativo de 1.5 es decir por -1.5 y luego cada uno de estos coeficientes se los sumaremos a la fila superior , como se muestra a continuación:
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora vamos a obtener el cero que nos hace falta de nuestra columna de trabajo la columna 2, así  que multiplicaremos la segunda fila por el negativo de -8 que es –(-8)=8, y el resultado se los sumaremos a cada elemento de la última fila.
paso 5 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la tercera columna y guiándonos de la matriz unidad de tercer orden, el coeficiente pivote es 3.2, entonces dividimos cada elemento de la fila donde se encuentra el pivote entre 3.2, para de esta manera obtener el 1 que nos hace falta para completar nuestra matriz unidad.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora reduciremos a cero los demás elementos de la tercera columna, así que vamos a multiplicar la última fila por el coeficiente negativo de 1.4, y luego el resultado se lo sumaremos a todos los elementos de la segunda fila, como se muestra a continuación.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y por último  vamos a obtener el cero que nos falta en la tercera columna, así que ahora multiplicaremos la última fila por el negativo de 0.4 es decir -0.4 y el resultado se lo sumaremos a cada elemento de la primera fila, y así obtener el cero que nos hace falta en esta fila.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y como se ve hemos obtenido una matriz unidad de tercer orden, en las primeras tres columnas lo que nos dice que hemos llegado a la solución del sistema de ecuaciones de tres variables, la posición de cada 1 representa la variable que ocuparía esa posición en el sistema de ecuación, es decir el 1 en la primera fila y primera columna representa la variable \(x\), el 1 ubicado en la segunda fila y segunda columna representa la variable \(y\) y el 1 situado en la tercera fila y tercera columna representa la variable \(z\), y la cuarta y última columna representa la soluciones o lo que valen las variables \(x\), \(y\) y \(z\).
Entonces la solución de nuestro sistema de ecuaciones es:
solución del sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones.

Matriz inversa.

viernes, 15 de septiembre de 2017

Gauss-jordan y solución de un sistema de ecuación

Continuando con algo de álgebra de matrices, vamos en esta ocasión hablar de cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método gauss-jordan, antes de trabajar este método usando matrices, vamos a ver los pasos que contempla este método usando álgebra natural, por ejemplo vamos a considerar todos los pasos en la solución del siguiente sistema.
Sistema de ecuación en dos variables
Solución:
Escogemos nuestra columna de trabajo donde se encuentra la variable \(x\), dividimos la ecuación (1) entre el coeficiente 2 de la ecuación (1) que tomaremos como nuestro coeficiente pivote.
solución del sistema usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos  (1) por -4 y luego sumamos el miembro derecho de (1) a la ecuación (2) con el propósito de que la variable \(x\) en (2) tenga coeficiente cero.
solución del sistema utilizando gauss-jordan
Reescribiendo el sistema de ecuación original tenemos ahora:
Sistema de ecuación después de aplicar varios del método gauss-jorda
Como la columna que contiene las variable \(x\) , está normalizada al hecho de que el coeficiente en la ecuación (1) es uno y cero en la ecuación (2), eliminamos esta columna de futuras consideraciones, por lo que ahora tomamos la columna con variable \(y\) como nuestra columna de trabajo y tomaremos como nuestro coeficiente pivote -8, así que dividiremos cada término de la ecuación (2) entre -8.
solución usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos toda la ecuación (2)  por el negativo del coeficiente de (y) en la ecuación (1) es decir -1.5.
solución usando gauss-jordan
Ahora sumamos (2) a la ecuación (1) para de esta manera obtener los demás ceros de la columna de la variable \(y\).
solución usando gauss-jordan
Ahora el sistema se nos reduce a:

Y como se observa los coeficientes de las variables quedan contenido dentro de una matriz unidad que es irreducible.
matriz unidad de segundo orden
Por tanto \(x=1\) y \(y=3\).
Todos estos pasos anteriores son los que se dan con el método gauss-jordan, pasos que en la mayoría de los casos tienen una notación matricial.
A nivel matricial, para resolver el sistema anterior
sistema de ecuación en dos variables
Expresamos todos los coeficiente de las diferentes variables \(x\) e \(y\) y los coeficientes independientes \(11\) y \(-2\) como una matriz de dos filas y 3 columnas \(2x3\).
sistema de ecuación expresado en forma de una matriz
Tomamos la columna (1) como nuestra columna de trabajo, y tomamos 2 como nuestro coeficiente pivote, dividimos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, dándonos.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora multiplicamos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote por el negativo del primer coeficiente de la segunda fila osea \(-4\) y luego el resultado se lo sumamos a la segunda fila.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos (1) a (2).
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Como ya se completó la configuración que establece que en cada columna debe haber un coeficiente igual a uno y los demás deben ser cero con el objeto de obtener una matriz unidad en las \(m-1\) columnas es decir en \(3-1=2\) columnas, ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la segunda columna y nuestro punto pivote será -8, así que dividiremos todos los coeficientes de la segunda fila entre -8.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora buscaremos reducir a cero los demás elementos de la columna dos, para esto multiplicaremos la segunda fila por el negativo del coeficiente que está en la segunda fila dentro de la columna de trabajo, nos referimos a 1.5, pero lo tomamos negativos osea -1.5.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos cada elemento de (2) a cada elemento de la fila uno, dándonos:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Y como la matriz formada por las dos primeras columnas es irreductible ya que es una matriz unidad, sabemos que hemos llegado a la máxima simplificación, por tanto:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Así que \(x=1\) y \(y=3\) son las soluciones del sistema de ecuación.
Como este artículo se ha extendido un poco, vamos en un próximo artículo a ver la solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan.

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones

Matriz inversa

Evento onmouseout con un toque personal

Este post lo dedicaremos a aquellos lectores de este blog que tienen el interés en desarrollar un blog o página web dinámica basada en el lenguaje de programación javascript en donde sus entradas o páginas puedan tener una interacción con sus usuarios, en este post les prestaremos una atención especial  al evento de javascript ¨onnmouseout¨, que se produce cuando tenemos el mouse encima de alguna etiqueta html como, div, input, span etc, y movemos el mouse fuera de esa etiqueta html.

Así que la palabra "onmouseout", que se traduce a la oración ¨On mouse out¨, significa ¨Mouse fuera de¨, partiendo del significado de lo que significa "onmouseout", este evento se produce cuando alejamos o sacamos el mouse o ratón fuera de la zona que tiene programado el evento que repetimos puede ser una etiqueta html, div, input, span o cualquier otro tipo.

Para ilustrar mejor como funciona este evento vamos a escribir algunas líneas de código que ejemplifique lo que hace el evento onmouseout.

Por ejemplo vamos a crear un párrafo con la etiqueta span, que cuando se coloque el mouse encima de este elemento y luego el mouse se salga de esta etiqueta el fondo o background de la etiqueta span cambie de amarillo a limón, si inicialmente la etiqueta span tiene el fondo amarillo, en caso contrario si el fondo es limón, cuando el evento se produzca, entonces el fondo cambie a amarillo.
El código siguiente hace el proceso explicado en el párrafo anterior actuando desde dentro de la etiqueta span:
<span onmouseout="if(this.style.backgroundColor=='yellow'){this.style.backgroundColor='lime'}else{this.style.backgroundColor='yellow'}" style="background-color: yellow; color: black; font-weight: bold; font-size: large;">El fondo de esta etiqueta span cambia de amarillo a limón y viceversa cuando se produce el evento onmouseout.</span>
De amarillo a limón y viceversa con onmouseout.

Pero podemos esmerarnos un poco más para que nuestro código html y javascript se vean más limpios, para esto, escribiremos lo que debe hacer el evento onmouseout en una función externa a la etiqueta span que llamaremos "CambaiandoColorAspan(id)", esta función la escribiremos aparte dentro de las etiquetas <script type="text/javascript"></script>, entonces nuestro códigos quedan asi:
<script type="text/javascript">
  function CambaiandoColorAspan(id)
{
/*Si el fondo de la etiqueta span es amarillo lo cambiamos
a limón y si es limón lo cambiamos a amarillo...
*/
       
       if(id.style.backgroundColor=="yellow")
       {
                id.style.backgroundColor="lime";
       }else {
                id.style.backgroundColor="yellow";
       }
}
</script>

<span onmouseout="CambaiandoColorAspan(this)" style="background-color: yellow; color: black; font-weight: bold; font-size: large;" >De amarillo a negro y viceversa con onmouseout.</span>
Pero todavía podemos seguir limpiando mucho más nuestro códigos html y javascript, para esto asignaremos el evento onmouseout desde fuera de la etiqueta span y además aplicarle estilo a la etiqueta span desde fuera, para esto le asignaremos el atributo id a la etiqueta span y agregándolo el atributo como id="identificoMiSpanYleAplicoEstilo", tal como se muestra a continuación:
<script type="text/javascript">

 function CambaiandoColorAspan(id)

{

/*Si el fondo de la etiqueta span es amarillo lo cambiamos

a limón y si es limón lo cambiamos a amarillo...

*/

       id = this;  //El evento omouseout se ejecuta sobre la etiqueta span actual..       
       if(id.style.backgroundColor=="yellow")

       {

                id.style.backgroundColor="lime";

       }else {

                id.style.backgroundColor="yellow";

       }

}

/*Al cargar la página le asigno el evento onmouseout al elemento span

con id [identificoMiSpanYleAplicoEstilo] y le confirmo el

fondo con un color amarillo...

*/

window.onload=function(){

     var identifico=document.getElementById('identificoMiSpanYleAplicoEstilo');

     identifico.onmouseout = CambaiandoColorAspan;

  identifico.style.backgroundColor="yellow";

};
</script>
<style type="text/css">

          #identificoMiSpanYleAplicoEstilo{

   background-color:yellow;

   color:black;

   font-weight:bold;

   font-size:large;

   }
</style>

<span id="identificoMiSpanYleAplicoEstilo">De amarillo a limón y viceversa con onmouseout.</span>
El código anterior lo podemos dejar aún mas estilizado a nivel de javascript, añadiendo el evento onmouseout directamente como un "Event Listeners" en la consola del navegador usando el siguiente código, la única diferencia es que no nombramos el evento como onmouseout sino como mouseout y funciona bien en google chrome:

<script type="text/javascript">

 function CambaiandoColorAspan(id)
{
/*Si el fondo de la etiqueta span es amarillo lo cambiamos
a limón y si es limón lo cambiamos a amarillo...
*/

       id = this;  //El evento omouseout se ejecuta sobre la etiqueta span actual...
       
       if(id.style.backgroundColor=="yellow")
       {
                id.style.backgroundColor="lime";
       }else {
                id.style.backgroundColor="yellow";
       }
}
/*Al cargar la página le asigno el evento onmouseout al elemento span
con id [identificoMiSpanYleAplicoEstilo] y le confirmo el
fondo con un color amarillo...
*/
window.onload=function(){
     var identifico=document.getElementById('identificoMiSpanYleAplicoEstilo');
//añadimos el evento onmouse directamente en la consola..
     identifico.addEventListener('mouseout', CambaiandoColorAspan, false);
identifico.style.backgroundColor="yellow";
};
</script>
<style type="text/css">
      #identificoMiSpanYleAplicoEstilo{
 background-color:yellow;
 color:black;
 font-weight:bold;
 font-size:large;
 }
</style>
<span id="identificoMiSpanYleAplicoEstilo">De amarillo a limón y viceversa con onmouseout.</span>

Como se puede observar todo estos diferentes procedimientos nos llevan al mismo evento, ejecutado por onmouseout,...

Vea también

Evento onmouseover

miércoles, 6 de septiembre de 2017

Realidad o mito,¿pérdida de masa en eclipse solar?

imagen de eclipse solar del 21 de agosto de 2017
A propósito del eclipse solar ocurrido (el lunes 21 de agosto de 2017), que pudo observarse de manera más detallada en U.S.A., ese día veía algunas personas hablar de que la perfecta alineación de la tierra, la luna y el sol, haría que las personas que se encontraran en la posición donde el eclipse incidiría más experimentarían una ligera pérdida de masa.
Lo que de por si es falso, ya que una de las propiedades de la materia a nivel macroscópico que no cambia es la masa, aunque a nivel microscópico, según la teoría de la relatividad si puede variar.
Así que quizás las personas que afirman que se pierde algo de masa, lo que quieren decir es que experimentan una ligera pérdida de peso.
Básicamente el peso se define como la fuerza que ejecuta la tierra y los demás cuerpos celestes sobre una masa especifica.
Así que básicamente en este blog vamos a realizar algunos cálculos usando la ley de gravitación universal desarrollada por Newton, para observar si efectivamente hay una ligera pérdida de peso y comprobar si estas aseveraciones son aproximadamente ciertas o si son erróneas.
Si consideramos que la masa de un persona colocada, perfectamente alineada de modo que esta persona puede observar la oscuridad producida por el eclipse solar es  \(m\), y sabiendo que las respectivas masa de la tierra, la luna y el sol, son \({M}_{t}\)\({M}_{l}\)\({M}_{s}\).
La posiciones observadas en la siguiente imagen representan la tierra(T), la luna(L) y el sol(S), y nos dan una perspectiva, de como obtener una relación matemática que nos permita vislumbrar de manera aproximada, las fuerzas que inciden sobre una persona colocada en la línea tierra-sol, en función del ángulo que forma la línea persona-luna y tierra-sol, debemos decir que la gráfica no está echa a escala de las medidas del sol, la tierra y la luna...
imagen de la tierra, la luna y el sol en un plano
En la imagen hemos tomados la trayectoria del movimiento de la luna alrededor de la tierra como circular aunque sabemos, que en la realidad no es así ya que la trayectoria de la luna alrededor de la tierra es elíptica, es decir describe una elipse, también hemos hecho el supuesto de que el punto \(P\) y el sol están siempre en la misma posición, aunque en la realidad esto no es así por que sabemos que la tierra tiene un movimiento de rotación que cambia constantemente la posición del punto \(P\) respecto al sol.
Todo esto lo hemos hecho para tener un análisis lo mas simplista posible...
Si la distancia entre la luna y el centro de la tierra la tomamos como \({r}_{tl}+R\), donde \(R\) es el radio de la tierra y \({r}_{tl}\) es la distancia entre la luna y la tierra, mientas que la distancia del sol a una persona en la tierra como \({r}_{sp}\), donde \({r}_{ts}\) es la distancia entre la tierra y el sol, y \(\beta\) es el ángulo entre la linea que va de la luna a una persona situada en el punto \(P\), y la linea que va del sol al punto \(P\).
Las distancias, \({r}_{tl}+R\),\(R\)\({r}_{lp}\) , están relacionadas por la ley de los cosenos así:
Ley de los cosenos y la distancia de un punto en la tierra a la luna
Despejando la distancia entre la luna y una persona ubicada en \(P\) \({r}_{lp}\), tenemos:
Distancia de la tierra a la luna en función de un ángulo
Así que sobre una persona con masa \(m\) situada en \(P\), el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) es.
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de una masa en tierra, bajo los efectos de gravedad de la tierra, la luna y el sol
Donde \({F}_{t-p}\) es la fuerza que ejerce la tierra sobre una persona en el punto \(P\)\({F}_{l-p}\) es fuerza que ejerce la luna sobre una persona en el punto P y \({F}_{s-p}\) es la fuerza que ejerce el sol sobre una persona situada en el punto \(P\), por tanto la fuerza neta ejercida por la tierra, la luna y el sol, es la suma vectorial de estas fuerzas.
Suma vectorial de la fuerza de la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierra
Tomaremos el punto \(P\) como el origen de coordenadas, y las fuerzas que actúan a su izquierda como positivas, mientras las que actúan a su derecha como negativas.
Descomponiendo los vectores fuerzas en sus componentes \(x\) e \(y\), tomando la linea tierra-sol como el eje \(x\), sabemos que las componentes paralela al eje \(x\) son las que contribuyen con el peso, o la fuerza neta de estos tres cuerpos, así que ignoraremos las componentes de las fuerzas paralelas al eje \(y\), así que la contribución de \({\vec{F}}_{t-p}\) es \({F}_{t-p}\), de  \({\vec{F}}_{l-p}\) es \({F}_{l-p}\cos{\beta}\) y de \({\vec{F}}_{s-p}\) es \({F}_{s-p}\), por tanto la fuerza neta sobre una masa situada en el punto \(P\) es.
Componente que afectan el peso de una persona en un eclipse solar.
Según la ley de gravitación universal la magnitud de la fuerza de interacción entre dos cuerpos con masa \(M\)\(m\), que se encuentran a una distancia \(r\), es:
Magnitud de la fuerza gravitaccional de interacción entre dos masas separadas una distancia r
Donde la constante de gravedad universal G es igual a 6.67 x 10-11N·m2/kg2
Así que la fuerza que la tierra, la luna y el sol ejercen por separado sobre una masa situada en el punto \(P\) son;
Fuerzas gravitaccionales de la tierra, la luna y el sol sobre una masa m en la tierra
Donde:
Masa de la tierra, la luna y el sol en kilogramos, y valor de la constante universal de gravedad
Sí suponemos que una persona ubicada en el punto \(P\) tiene una masa de \(45kg\), bajo una aceleración promedio de \(9.7856m/{s}^{2}\) tiene un peso promedio de \(\left(45kg\right)\left(9.7856m/{s}^{2}\right)=440.35N\)
pero este valor medio fluctúa según los cálculos mostrados a continuación:
Fuerza neta, que ejercen la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierraFuerza neta, que ejercen la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierra
Y se puede observar que el peso promedio de \(440.35\), fluctúa entre \(0.0015N\)\(-0.0014N\), osea entre \(440.3485\)\(440.3514\), según la fórmula:
Diferencia entre el peso promedio sin eclipse solar y con eclipse solar
Gráficamente esta fórmula se ve así:
Gráfica de la variación del peso de una persona bajo los efectos de gravedad de la tierra, la luna y el sol
Y como muestra la gráfica el peso de una persona con \(m=45kg\) varía entre \(0.0015N\)\(-0.0014N\), si se toma como peso promedio \(440.35N\), este peso varía para una persona que se encuentra en el punto \(P\) cuando se produce un eclipse solar a \(440.3485N\), y las personas situadas en el punto opuesto diametralmente al punto \(P\) con masa \(m=45kg\), experimentan un ligero aumento de peso en \(0.0014N\), es decir su peso se incrementa a \(440.3514N\).
Lo que a groso modo, con estos cálculos podemos observar que verdaderamente se experimenta una ligera pérdida de peso en un eclipse solar, lo que mucha persona podrían interpretar como una perdida de masa, lo que es un magnifico error, por que la masa no cambia, en realidad lo que hace que el peso disminuya es la disminución de la aceleración de la gravedad.

Vea también

Primera ley de Newton

Segunda ley de Newton