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viernes, 15 de septiembre de 2017

Gauss-jordan y solución de un sistema de ecuación

Continuando con algo de álgebra de matrices, vamos en esta ocasión hablar de cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método gauss-jordan, antes de trabajar este método usando matrices, vamos a ver los pasos que contempla este método usando álgebra natural, por ejemplo vamos a considerar todos los pasos en la solución del siguiente sistema.
Sistema de ecuación en dos variables
Solución:
Escogemos nuestra columna de trabajo donde se encuentra la variable \(x\), dividimos la ecuación (1) entre el coeficiente 2 de la ecuación (1) que tomaremos como nuestro coeficiente pivote.
solución del sistema usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos  (1) por -4 y luego sumamos el miembro derecho de (1) a la ecuación (2) con el propósito de que la variable \(x\) en (2) tenga coeficiente cero.
solución del sistema utilizando gauss-jordan
Reescribiendo el sistema de ecuación original tenemos ahora:
Sistema de ecuación después de aplicar varios del método gauss-jorda
Como la columna que contiene las variable \(x\) , está normalizada al hecho de que el coeficiente en la ecuación (1) es uno y cero en la ecuación (2), eliminamos esta columna de futuras consideraciones, por lo que ahora tomamos la columna con variable \(y\) como nuestra columna de trabajo y tomaremos como nuestro coeficiente pivote -8, así que dividiremos cada término de la ecuación (2) entre -8.
solución usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos toda la ecuación (2)  por el negativo del coeficiente de (y) en la ecuación (1) es decir -1.5.
solución usando gauss-jordan
Ahora sumamos (2) a la ecuación (1) para de esta manera obtener los demás ceros de la columna de la variable \(y\).
solución usando gauss-jordan
Ahora el sistema se nos reduce a:

Y como se observa los coeficientes de las variables quedan contenido dentro de una matriz unidad que es irreducible.
matriz unidad de segundo orden
Por tanto \(x=1\) y \(y=3\).
Todos estos pasos anteriores son los que se dan con el método gauss-jordan, pasos que en la mayoría de los casos tienen una notación matricial.
A nivel matricial, para resolver el sistema anterior
sistema de ecuación en dos variables
Expresamos todos los coeficiente de las diferentes variables \(x\) e \(y\) y los coeficientes independientes \(11\) y \(-2\) como una matriz de dos filas y 3 columnas \(2x3\).
sistema de ecuación expresado en forma de una matriz
Tomamos la columna (1) como nuestra columna de trabajo, y tomamos 2 como nuestro coeficiente pivote, dividimos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, dándonos.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora multiplicamos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote por el negativo del primer coeficiente de la segunda fila osea \(-4\) y luego el resultado se lo sumamos a la segunda fila.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos (1) a (2).
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Como ya se completó la configuración que establece que en cada columna debe haber un coeficiente igual a uno y los demás deben ser cero con el objeto de obtener una matriz unidad en las \(m-1\) columnas es decir en \(3-1=2\) columnas, ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la segunda columna y nuestro punto pivote será -8, así que dividiremos todos los coeficientes de la segunda fila entre -8.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora buscaremos reducir a cero los demás elementos de la columna dos, para esto multiplicaremos la segunda fila por el negativo del coeficiente que está en la segunda fila dentro de la columna de trabajo, nos referimos a 1.5, pero lo tomamos negativos osea -1.5.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos cada elemento de (2) a cada elemento de la fila uno, dándonos:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Y como la matriz formada por las dos primeras columnas es irreductible ya que es una matriz unidad, sabemos que hemos llegado a la máxima simplificación, por tanto:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Así que \(x=1\) y \(y=3\) son las soluciones del sistema de ecuación.
Como este artículo se ha extendido un poco, vamos en un próximo artículo a ver la solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan.

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones

Matriz inversa

lunes, 21 de agosto de 2017

Matriz inversa y solución de un sistema de ecuaciones

En este artículo vamos a ver como aplicamos lo que es una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuación.
Como muchos de los lectores ya saben que un sistema de ecuaciones en dos variables se puede escribir como se muestra a continuación.
Sistema de ecuaciones en forma matricial
Si nombramos la matriz que contiene los coeficientes de las diferentes variables como \(A\), y los términos independientes los colocamos en la matriz \(B\), y si además las variables las colocamos en la matriz de variables \(X\), entonces la ecuación anterior la podemos expresar en forma matricial así:
Ecuación matricial
Si despejamos la matriz \(X\), entonces podemos observar que la matriz \(X\), viene dada como se muestra a continuación.
Solución de un sistema de ecuaciones usando matriz inversa
Así que la solución de un sistema de ecuación la podemos obtener multiplicando la matriz inversa de \(A\) por la matriz de coeficientes independientes \(B\).

Veamos algunas soluciones de sistemas de ecuaciones en dos y tres variables usando productos matriciales y la inversa de una matriz  como se muestra a continuación.
1- Solucionar el sistema:
Sistema de ecuación
Solución:
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A de un sistema de ecuación
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Vector de términos independientes de un sistema de ecuaciones
Tercero, expresamos la matriz de variables a resolver en término del producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes o matriz columna \(B\).
Matriz de solución de variables de un sistema en término de la matriz inversa y el vector de coeficientes
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\), si no sabe como obtener la inversa de una matriz clic en [Matriz inversa]:
Matriz inversa de la matriz de coeficientes de variables del sistema de ecuación
Quinto y último paso, resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz columna o vector \(B\) y obtenemos los valores de cada variable en la matriz \(X\).
Obtención de la matriz de variables solución X

2- Solucionar el sistema
Sistema de ecuaciones
Solución:
Como en la solución del ejemplo (1), en este también vamos a dar los mismos cinco pasos anteriores.
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\), que es:
matriz de coeficientes de variables del sistema
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz de términos independientes B
Tercero, colocamos la matriz de variables a resolver en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz de coeficientes \(B\), como se muestra a continuación:
Matriz de variables en término de la matriz inversa de A y la matriz B
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y por último solucionamos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz \(B\), y de esta manera determinamos los valores de la variables contenidas en la matriz \(X\).
Encontrando la solución de la matriz X

Y como último ejemplo de aplicación de una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones, vamos a resolver un sistema en tres variables.
3-Resolver el sistema
Sistema de ecuación 3
Solución:
Como en la soluciones anteriores, primero identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz columna o vector B
Tercero, colocamos la matriz solución de variables en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz o vector de coeficientes independientes \(B\).
Expresión de la matriz solución X, en función de la matriz inversa de A y el vector B
Cuarto, encontramos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y finalmente resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes \(B\), y de esta manera obtenemos los valores de las respectivas variables del sistema de ecuaciones dados.
Solución de la matriz de variables X

Como se puede observar, a partir de un sistema de ecuación de tres variables, este método de encontrar la matriz inversa de la matriz de coeficientes de las variables involucradas se vuelve complejo, por los muchos cálculos numéricos que habría que realizar, por lo que a partir de un sistema de cuatro variables, resulta más factible usar otros métodos de solución, como por ejemplo el método de reducción de matrices, usando gauss-jordan.

Vea también

Matriz inversa


Regla de cramer para resolver un sistema de ecuación.

Método de reducción suma y resta, y la solución de un sistema de ecuación.

martes, 18 de julio de 2017

Matriz inversa

En este breve post vamos a estar hablando de como se define una matriz inversa y como obtener una matriz inversa de segundo y tercer orden de una matriz con estos mismos ordenes.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de cualquier orden, sea \(B\) la matriz inversa de \(A\) y sea \(C\), una matriz unidad del mismo orden de \(A\), entonces si una matriz \(A\) al ser multiplicada por una matriz \(B\), da como resultado la matriz unidad \(C\), entonces podemos decir que \(B\) es la matriz inversa de \(A\) es decir \(B={A}^{-1}\), expresado esto matemáticamente tenemos:
definición de matriz inversa
La matriz inversa \({A}^{-1}\) de una matriz \(A\), es aquella matriz que hay ser multiplicada por \(A\) da como resultado la matriz unidad \(C\).
Y como ya hemos hablado de una matriz unidad en la definición de matriz inversa, debemos decir que una matriz unidad es aquella cuyo determinante es igual a uno. 
La siguientes matrices son ejemplos de matrices unidad:
matrices unidades
Así que los determinantes de  \({C}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son iguales a uno \(det\left({C}_{i}\right)=1;\left(i=1,2,3\right)\).
Aplicando la definición de matriz vamos ha hallar la matriz inversa de la siguientes matrices.
matrices R1, R2 y R3
Y como no conocemos aún los coeficientes de las matrices inversas \({{R}_{i}}^{-1}\left(i=1,2,3\right)\), asumiremos que estos son \({x}_{i}\left(1,2,\cdot \cdot \cdot ,{n}^{2}\right)\) en donde \(n\) es el orden de la matriz, y la cantidad de elementos de una matriz inversa sera igual \({n}^{2}\), así que la matrices inversas de \({R}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son:
matrices inversas de R1, R2 y R3
Aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{1}\), vamos a averiguar los valores de las variables \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\).
Obtención de la matriz R1
Y después de solucionar los sistema de ecuaciones (1) y (2), tenemos que las variables son:
solución de los sistemas de ecuaciones 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{1}\) es:
matriz inversa de R1

Y la inversa de la matriz \({R}_{2}\), la vamos a obtener de manera análoga a como obtuvimos la inversa de \({R}_{1}\), así que básicamente daremos exactamente los mismo pasos.
Primero aplicamos la definición de matriz inversa, para de esta manera averiguar los valores de \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\):
Obtención de la matriz R2
Ahora resolvemos los sistema (1) y (2), dándonos las soluciones:
solución de los sistema 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{2}\) es:
matriz inversa R2
Y la ´matriz \({R}_{3}\) al igual que la dos matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), le aplicaremos el mismo procedimiento, la única diferencia es que \({R}_{3}\) es una matriz de tercer orden así que esta nos generará ecuaciones con un máximo de tres incógnitas.
Así que aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{3}\), vamos a obtener las variables \({x}_{1},{x}_{2},\cdot \cdot\cdot,{x}_{9}\).
Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R1

sistema de ecuaciones 1, 2 y 3
Y la solución a los sistema (1), (2) y (3) son:
solución de los sistema 1, 2 y 3
Así que la matriz inversa \({R}_{3}\) es:
matriz inversa de R3

Fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de segundo orden y sea \({A}^{-1}\) su inversa y además sea \(C\) una matriz unidad de segundo orden, usando la definición de matriz inversa vamos a obtener una fórmula estándar que nos permita calcular la matriz inversa de una matriz inversa de segundo orden fácilmente:
Obtención de fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden cuadrada
Solucionando los sistemas (1) y (2), para \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\), tenemos.
solución de los sistema 1 y 2
Y la matriz inversa de una matriz \(A\) de segundo orden es:
Matriz inversa de A
Pero resulta que el determinante de la matriz \(A\) es \({a}_{1}\dot {a}_{4}-{a}_{2}\dot {a}_{3}\), podemos reescribir la inversa de \(A\) de una forma más elegante, como se muestra a continuación:
matriz inversa de A
Así que, si una matriz \(A\) es de segundo orden y es no singular entonces su matriz inversa es:
definición formal de matriz inversa de segundo orden cuadrada
Para probar esta fórmula vamos a aplicarla a las matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), dada más arriba, entonces vamos a obtener las inversas de ambas matrices cuadradas de segundo orden; todo el proceso de obtención se muestra a continuación.
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Y como se puede observar, usando esta fórmula obtenemos el mismo resultado que obtuvimos más arriba cuando utilizamos la definición de una matriz inversa.