Cálculo - Matemática y Física

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viernes, 17 de noviembre de 2017

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

En este post vamos abordar el volumen de una esfera, en esta ocasión usando integrales triples y coordenadas cilíndricas, como se señaló en el artículo [Coordenadas cilíndricas], las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares a tres dimensiones, es por ello que un pequeño volumen diferencial expresado en coordenadas cilíndricas es.
diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas

Que gráficamente se ve así.
gráfico entramado de un porción de volumen en coordenadas cilíndricas

Así que el volumen puede quedar expresado así.
volumen expresado con triple integral y coordenadas cilíndricas

Así que la región sólida cilíndrica que utilizaremos para encontrar el volumen de una esfera la tomamos como se muestra a continuación.
Región sólida en coordenadas cilíndricas sobre la cual encontraremos el volumen de una esfera de radio a

Recordemos que la ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares es:
Ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares

Y para expresarla en coordenadas cilíndricas se realiza el siguiente proceso.
Ecuación de una esfera expresada en coordenadas cilíndricas

Donde \(z\) positiva representa la mitad superior de la esfera y \(z\) negativa la mitad inferior de la esfera, por lo que.
\(-\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\leq z\leq\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\)
Dicho todo lo anterior procedamos con el proceso de integración triple, con coordenadas cilíndricas sobre la región sólida Q dada en la expresión (1).
Volumen de una esfera de radio a, con triple integral y coordenadas cilíndricas

Lo primero que haremos es realizar la integración en el mismo orden de los diferenciales de \(z\), \(r\) y \(\theta\), así que empezaremos con la variable \(z\).
Proceso de integración de la variable z

Ahora pasamos a integral la variable \(\theta\), para este proceso sacaremos esta integral interna por separado de la integral doble y aplicaremos la técnica de cambio de variable y redefiniremos el intervalo de integración, todo este proceso se muestra continuación.
Proceso de integración de la variable r, en conjunto con la técnica de integración, cambio de variable

Ahora sustituimos el valor de la integral obtenida en la integral doble y procedemos a simplificar la integral que nos falta para así obtener el volumen de una esfera con radio \(a\).
Proceso de integración de la variable theta

Queda demostrado que usando integrales triples y coordenadas cilíndricas el volumen de una esfera con radio \(a\) es.
volumen de una esfera de radio a, usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

Vea también.

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares.

Volumen de una esfera usando integrales dobles.

Volumen de una esfera usando una sola integral.

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares.

martes, 31 de octubre de 2017

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares

En este artículo vamos hablar de cómo obtener el volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares, para esto deberemos integral sobre una región sólida Q que viene representada por
Región Q para sobre la que usaremos la integral triple

Esta región la integraremos tomando como referencia el cubo diferencial cuyo volumen es \(dV=dzdydx\), mostrado en la siguiente gráfica.
Esfera entramada para usar integrales triples rectangulares

Así que el volumen de una esfera vendría dado por la siguiente integral triple.
volumen de una esfera expresado como una integral triple

Y esta integral la tomamos sobre la región sólida Q dada en la expresión (1), por tanto el volumen de una esfera queda perfectamente representado por la siguiente integral triple.
integral triple y los límites de integración sobre la región sólida Q

Para simplificar esta integral comenzaremos integrando en el mismo orden en que aparece el volumen diferencial \(dzdydx\), es decir integraremos primeramente la variable \(z\), como se muestra a continuación.
Integración de la variable interior z
Integración de la variable interior z

Y la integral se nos ha reducido a la integral doble:
volumen de una esfera expresado como integral doble

Y el proceso de simplificación es igual al proceso de simplificación que utilizamos en el artículo [Volumen de una esfera usando integrales dobles], así que si desea ver este proceso de simplificación les invito a ver ese artículo, en donde se demostró que esa integral doble es igual a.
volumen de la esfera obtenido como resultado de la simplificación de la integral  oble

Así que el volumen de una esfera con radio \(r\) usando integrales triples y coordenadas rectangulares es.
volumen de una esfera cuyo radio es r

Vea también

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas rectangulares

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares

miércoles, 25 de octubre de 2017

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares

En este artículo vamos a estar abordando el tema, de cómo conseguir el volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares, debemos decir que en muchos casos de integración es mucho menos complejo utilizar coordenadas polares que usar coordenadas rectangulares, aunque en ambos debemos obtener los mismos resultados.
esfera entramada para obtener una integral doble en coordenadas polares

El área transversal polar de una cuadricula diferencial de las mostradas en el gráfico es igual a:
diferencial de área en coordenadas polares

Así que como se puede observar en la gráfica del principio del artículo, el volumen diferencial del prisma con área transversal polar mostrado es.
diferencial de volumen en coordenadas polares y usando integrales dobles

Este pequeño volumen representa una pequeña porción del volumen de la esfera mostrada en la gráfica que tiene radio \(a\), así que el volumen total de esta esfera es igual a la sumatoria de los primas diferenciales con secciones transversales polares  cuando el área tiende a cero \(\Delta A=r\Delta r\Delta  \theta\), y esta sumatoria queda perfectamente representada  con la integral doble en coordenadas polares  de la expresión 1, tomada sobre la región \(R\) que está limitada por la ecuación en coordenadas polares de una circunferencia \(r=a\), que  está dada por los siguientes intervalos .
región R para coordenadas polares y volumen de una esfera usando doble integral

El volumen esta representado por la integral dada a continuación sobre la región\(R\), representada por expresión (2).
integral doble sobre una región R en coordenada polares

Y sabiendo que la ecuación de la superficie de una esfera con radio\(a\)  es
ecuación de la superficie de una esfera con radio a

Despejamos \(z\) que representa la altura del prisma rectangular polar mostrado al principio del artículo y lo colocamos en términos de las coordenadas polares \(\left(r, \theta\right)\).
ecuación de la superficie de una esfera dada en coordenadas polares

Así que la expresión diferencial (1) se transforma en:
diferencial de volumen de una esfera usando coordenadas polares

Tomamos la integral interior con los límites de integración:
intervalo de integración de la integral interior

Mientras que para la integral exterior tomamos los límites
intervalo de integración para la integral exterior

Estos límites de integración nos recuerdan de que estamos integrando sobre la región polar \(R\) delimitada por la ecuación polar \(r=a\).
Así que la integral doble con coordenadas polares que representa el volumen de una esfera es:
volumen de una esfera con integral dobles y usando coordenadas polares

El coeficiente 2 es resultado de que la doble integral representa la mitad del volumen de una esfera con radio \(a\), entonces al multiplicar por 2 la doble integral obtenemos el volumen total de la esfera.

Una vez aclarados los detalles anteriores vamos a proceder al proceso de simplificación de la integral doble para esto empezaremos integrando desde la integral mas interior hasta la más exterior en el mismo orden en que están dispuestos los diferenciales \(drd\theta\), así que vamos a integral en función de la variable \(r\), entonces asumiremos la variable \(\theta\) como un valor constante, todo este proceso se muestra a continuación.  
Lo primero que haremos es hacer un cambio de variable para facilitarnos el proceso de integración de la integral interior como se muestra ahora.
haciendo un cambio de variable en la integral interior

Y entonces reescribimos los limites de integración en función de \(\beta\) y reescribimos los nuevos límites de integración para la variable \(\beta\):
reescribimos los nuevos límites de integración de la nueva variable beta

Así que \(\sqrt{{a}^2-{r}^2}\), después de hacer el cambio de variable es igual a \(a\cos{\beta}\) y el diferencial \(dr\) es igual a \(a\cos{\beta}d\beta\), y colocando los nuevos límites de integración en base al cambio de variable.
hacemos las sustituciones de la variable cambiada y los nuevos límites de integración

Pero el coseno de una ángulo elevado al cuadrado es igual a:
identidad pictagorica de cuadrado del coseno del ángulo beta

Ahora sustituimos el equivalente al cuadrado del coseno de un ángulo en la integral doble.
reemplazamos coseno elevado al cuadrado por su identidad pictagorica  equivalente

Ahora sacamos la integral interior de la integral doble para integrarla por separado para obtener mayor simplicidad.
separamos la integral interior para para cálculo más simples

En el artículo técnica de integración por partes obtuvimos la simplificación de la integral como.
solución de la integral del seno al cubo de un ángulo

Entonces ya sabiendo esto podemos continuar con nuestro proceso de integración de la integral interior.
simplificamos la integral definida interior y obtenemos el valor numérico

Ahora sustituimos la integral interior por el valor numérico obtenido, y procedemos a obtener la integral exterior en función de la variable \(\theta\), como se muestra a continuación.
simplificamos la integral definida exterior y obtenemos su valor

Y como se puede observar después de todo el proceso seguido, el volumen de una esfera con radio \(a\) es igual a.
volumen de una esfera con radio a

Vea también

Volumen de una esfera usando integrales definidas normales.

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas rectángulares

lunes, 19 de junio de 2017

Área de un círculo y definición informal de límites

En este post vamos a ver como obtener el área de un círculo usando el método de modelado exhaustivo usando la definición informal de límite.
Cuando un polígono regular inscrito en una circunferencia aumenta su número de lados también aumenta su área, y podemos decir que el límite del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia cuando su número de lados (n) tiende a infinito, es igual al área del círculo en el que está inscrito.
Pero también sabemos que cuando un polígono regular circunscrito en una circunferencia incrementa su número de lados disminuye su área, acercándose a el área del círculo que circunscribe cuando su número de lados se aproxima a infinito.
Tal como muestra la siguiente imagen de polígonos regulares inscritos y circunscritos, los polígonos en la medida que aumentan su número de lados, en esta misma medida sus respectivas áreas se acercan a el área del círculo considerado.
Polígono-inscrito-y-circunscrito-a-una-circunferencia
Así que lo que haremos ahora es encontrar dos fórmulas para el área de un polígono inscrito y circunscrito en función del número de lados (n) que contengan.
Para encontrar esta relación matemática para un polígono regular inscrito en una circunferencia nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.
Polígono-inscrito-a-una-circunferencia
Utilizando la función trigonométrica seno, vamos a obtener la longitud \(x\), que es la mitad de la base del triángulo isósceles \(\Delta OAB\) y luego por medio del teorema de pitágoras hallaremos una relación para la altura \(y\), todo esto se muestra a continuación.
 Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Por lo que el área del triángulo \(\Delta OAB\) es.
Área-de-un-subtriángulo-inscrito-en-una-circunferencia
Y el área polígono completo es igual al número de lados \(n\) que tiene el polígono multiplicado por el área de uno de los subtriángulos, es decir si el polígono tiene \(n=5\), entonces este polígono está compuesto de 5 subtriángulo, si \(n=6\) el polígono se compone de 6 subtriángulos, si \(n=7\) de 7 subtriángulos y así sucesivamente.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia
Pero resulta que \(\beta=\frac{360^{\circ}}{n}\), así que el área de un polígono en función de su número de lados \(n\) la podemos reescribir así.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados
Así que el área de un polígono inscrito en una circunferencia en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados

Ahora encontraremos una función que nos permita calcular el área de un polígono circunscrito de (n) lados a una circunferencia, para empezar nuestro análisis que es semejante al de un polígono inscrito nos guiaremos del siguiente gráfico.
Polígonos-circunscritos-en-una-circunferencia
Usaremos la función trigonométrica tangente, para averiguar la longitud x que es la mitad de la longitud de la base del triángulo \(\Delta OAB\) y la altura sabemos que es \(r\), como se observa a continuación.
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito
Por lo tanto el área del triángulo \(\Delta OAB\) es .
Área-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Entonces el área total de un polígono circunscrito a una circunferencia con radio \(r\), es igual al área del triángulo \(\Delta OAB\) multiplicado por el número de lados \(n\) que contenga el polígono considerado.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Así que el área de un polígono circunscrito en una circunferencia de radio \(r\), en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lado

Área de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia cuando \(n\) se aproxima a infinito
Haremos uso de la definición informal de límites para averiguar el límite del área de un polígono regular inscrito y circunscrito cuando \(n\rightarrow \infty\), para hacer estas pruebas vamos a tomar un \(n\) bastante grande como \(n=1000\) que nos de una buena visión del área de un polígono inscrito y circunscrito bajo estas condiciones, así primero vamos a trabajar con la fórmula para el área de un polígono regular inscrito cuando \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
Ahora hacemos la misma prueba con \(n\rightarrow 1000000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
Haremos estas mismas pruebas usando la fórmula del área de un polígono regular circunscrito, así que primero vamos a tomar \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
Ahora hacemos la pruebas de exhaución anteriores cuando \(n\rightarrow 1000000\)
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
En conclusión podemos observar que mientras más grande es el valor al que se aproxima \(n\), con más presición nos aproximamos a la constante pi (\(\pi\)), aunque el área de los polígonos circunscritos tienden mas lentamente, entonces es evidente que cuando \(n\) se aproxima a un valor suficientemente grande osea cuando \(n\rightarrow \infty\), el área de un polígono regular inscrito y circunscrito es igual a un número constante multiplicado por el radio \(r\) elevado al cuadrado, que es el área de un círculo.
Este número constante valga la redundancia es igual al famoso número \(\pi\), lo que se expresa matemáticamente así.
área de un círculo

Teorema del emparedado o encajado
Con este teorema podemos demostrar fácilmente el área de un círculo como la que obtuvimos de manera exhaustiva con la definición informal de límites.
Este teorema establece que si tenemos tres funciones \(h\left( x\right),f\left( x\right),g\left( x\right)\) y se cumple que 
desigualdad del teorema del emparedado
para todo x exepto posiblemente en \(c\) y
teorema del emparedado
Entonces el \(\lim _{n \to c}f\left(x\right)\) existe y es igual a \(L\).

En la siguiente gráfica de un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia se puede observar claramente que el área del polígono regular inscrito \({A}_{total-I}\) es menor que el área del polígono circunscrito \({A}_{total-C}\), y esto se cumple para cualquier valor \(n\) de lados de los polígonos.
Gráfica de una circunferencia y un polígno inscrito y circunscrito con n lados
Esta gráfica se traduce simbólicamente como.
desigualdad para usar el teorema del emparedado
De donde se tiene que para todo \(n\) mayor o igual a 3 que:
Demostración de la desigualdad para usar el teorema del emparedado para el área de un círculo
Gráficamente esta relación del área del polígono inscrito y circunscrito y el área de un círculo para \(n\geq3\) se ve así.
Gráfica que muestra el área tanto de un polígono regular inscrito como circunscrito en función de su número n de lados y el área del círculo que inscriben y circunscriben
Y como más arriba se demostró que :
demostración del área de un círculo usando la definición informal de límites
Lo que por el teorema del emparedado o encajado concluimos entonces que el área de un círculo \({A}_{círculo}\) es:
Área de un círculo
Vea también

Definición informal de límites

Perímetro y área de un polígono regular