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miércoles, 6 de septiembre de 2017

Realidad o mito,¿pérdida de masa en eclipse solar?

imagen de eclipse solar del 21 de agosto de 2017
A propósito del eclipse solar ocurrido (el lunes 21 de agosto de 2017), que pudo observarse de manera más detallada en U.S., ese día veía algunas personas hablar de que la perfecta alineación de la tierra, la luna y el sol, haría que las personas que se encontraran en la posición donde el eclipse incidiría más experimentarían una ligera pérdida de masa.
Lo que de por si es falso, ya que una de las propiedades de la materia a nivel macroscópico que no cambia es la masa, aunque a nivel microscópico, según la teoría de la relatividad si puede variar.
Así que quizás las personas que afirman que se pierde algo de masa, lo que quieren decir es que experimentan una ligera pérdida de peso.
Básicamente el peso se define como la fuerza que ejecuta la tierra y los demás cuerpos celestes sobre una masa especifica.
Así que básicamente en este blog vamos a realizar algunos cálculos usando la ley de gravitación universal desarrollada por Newton, para observar si efectivamente hay una ligera pérdida de peso y comprobar si estas aseveraciones son aproximadamente ciertas o si son erróneas.
Si consideramos que la masa de un persona colocada, perfectamente alineada de modo que esta persona puede observar la oscuridad producida por el eclipse solar es  \(m\), y sabiendo que las respectivas masa de la tierra, la luna y el sol, son \({M}_{t}\)\({M}_{l}\)\({M}_{s}\).
La posiciones observadas en la siguiente imagen representan la tierra(T), la luna(L) y el sol(S), y nos dan una perspectiva, de como obtener una relación matemática que nos permita vislumbrar de manera aproximada, las fuerzas que inciden sobre una persona colocada en la línea tierra-sol, en función del ángulo que forma la línea persona-luna y tierra-sol, debemos decir que la gráfica no está echa a escala de las medidas del sol, la tierra y la luna...
imagen de la tierra, la luna y el sol en un plano
En la imagen hemos tomados la trayectoria del movimiento de la luna alrededor de la tierra como circular aunque sabemos, que en la realidad no es así ya que la trayectoria de la luna alrededor de la tierra es elíptica, es decir describe una elipse, también hemos hecho el supuesto de que el punto \(P\) y el sol están siempre en la misma posición, aunque en la realidad esto no es así por que sabemos que la tierra tiene un movimiento de rotación que cambia constantemente la posición del punto \(P\) respecto al sol.
Todo esto lo hemos hecho para tener un análisis lo mas simplista posible...
Si la distancia entre la luna y el centro de la tierra la tomamos como \({r}_{tl}+R\), donde \(R\) es el radio de la tierra y \({r}_{tl}\) es la distancia entre la luna y la tierra, mientas que la distancia del sol a una persona en la tierra como \({r}_{sp}\), donde \({r}_{ts}\) es la distancia entre la tierra y el sol, y \(\beta\) es el ángulo entre la linea que va de la luna a una persona situada en el punto \(P\), y la linea que va del sol al punto \(P\).
Las distancias, \({r}_{tl}+R\),\(R\)\({r}_{lp}\) , están relacionadas por la ley de los cosenos así:
Ley de los cosenos y la distancia de un punto en la tierra a la luna
Despejando la distancia entre la luna y una persona ubicada en \(P\) \({r}_{lp}\), tenemos:
Distancia de la tierra a la luna en función de un ángulo
Así que sobre una persona con masa \(m\) situada en \(P\), el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) es.
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de una masa en tierra, bajo los efectos de gravedad de la tierra, la luna y el sol
Donde \({F}_{t-p}\) es la fuerza que ejerce la tierra sobre una persona en el punto \(P\)\({F}_{l-p}\) es fuerza que ejerce la luna sobre una persona en el punto P y \({F}_{s-p}\) es la fuerza que ejerce el sol sobre una persona situada en el punto \(P\), por tanto la fuerza neta ejercida por la tierra, la luna y el sol, es la suma vectorial de estas fuerzas.
Suma vectorial de la fuerza de la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierra
Tomaremos el punto \(P\) como el origen de coordenadas, y las fuerzas que actúan a su izquierda como positivas, mientras las que actúan a su derecha como negativas.
Descomponiendo los vectores fuerzas en sus componentes \(x\) e \(y\), tomando la linea tierra-sol como el eje \(x\), sabemos que las componentes paralela al eje \(x\) son las que contribuyen con el peso, o la fuerza neta de estos tres cuerpos, así que ignoraremos las componentes de las fuerzas paralelas al eje \(y\), así que la contribución de \({\vec{F}}_{t-p}\) es \({F}_{t-p}\), de  \({\vec{F}}_{l-p}\) es \({F}_{l-p}\cos{\beta}\) y de \({\vec{F}}_{s-p}\) es \({F}_{s-p}\), por tanto la fuerza neta sobre una masa situada en el punto \(P\) es.
Componente que afectan el peso de una persona en un eclipse solar.
Según la ley de gravitación universal la magnitud de la fuerza de interacción entre dos cuerpos con masa \(M\)\(m\), que se encuentran a una distancia \(r\), es:
Magnitud de la fuerza gravitaccional de interacción entre dos masas separadas una distancia r
Donde la constante de gravedad universal G es igual a 6.67 x 10-11N·m2/kg2
Así que la fuerza que la tierra, la luna y el sol ejercen por separado sobre una masa situada en el punto \(P\) son;
Fuerzas gravitaccionales de la tierra, la luna y el sol sobre una masa m en la tierra
Donde:
Masa de la tierra, la luna y el sol en kilogramos, y valor de la constante universal de gravedad
Sí suponemos que una persona ubicada en el punto \(P\) tiene una masa de \(45kg\), bajo una aceleración promedio de \(9.7856m/{s}^{2}\) tiene un peso promedio de \(\left(45kg\right)\left(9.7856m/{s}^{2}\right)=440.35N\)
pero este valor medio fluctúa según los cálculos mostrados a continuación:
Fuerza neta, que ejercen la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierraFuerza neta, que ejercen la tierra, la luna y el sol sobre una masa en la tierra
Y se puede observar que el peso promedio de \(440.35\), fluctúa entre \(0.0015N\)\(-0.0014N\), osea entre \(440.3485\)\(440.3514\), según la fórmula:
Diferencia entre el peso promedio sin eclipse solar y con eclipse solar
Gráficamente esta fórmula se ve así:
Gráfica de la variación del peso de una persona bajo los efectos de gravedad de la tierra, la luna y el sol
Y como muestra la gráfica el peso de una persona con \(m=45kg\) varía entre \(0.0015N\)\(-0.0014N\), si se toma como peso promedio \(440.35N\), este peso varía para una persona que se encuentra en el punto \(P\) cuando se produce un eclipse solar a \(440.3485N\), y las personas situadas en el punto opuesto diametralmente al punto \(P\) con masa \(m=45kg\), experimentan un ligero aumento de peso en \(0.0014N\), es decir su peso se incrementa a \(440.3514N\).
Lo que a groso modo, con estos cálculos podemos observar que verdaderamente se experimenta una ligera pérdida de peso en un eclipse solar, lo que mucha persona podrían interpretar como una perdida de masa, lo que es un magnifico error, por que la masa no cambia, en realidad lo que hace que el peso disminuya es la disminución de la aceleración de la gravedad.

Vea también

Primera ley de Newton

Segunda ley de Newton

miércoles, 28 de junio de 2017

Inercia de una placa cuadrada delgada la cual gira en torno a un eje que pasa por uno de sus vértices, perpendicular al plano de la placa

En este post estaremos hablando de como averiguar el momento de inercia de una placa delgada cuadrada, para este propósito nos auxiliaremos del artículo que habla del momento de inercia de una placa delgada rectangular en torno a un eje que pasa por el centro, perpendicular al plano de la placa rectangular, y para simplificar un poco los cálculos, usaremos el teorema de los ejes paralelos para el cálculo de la inercia de un eje situado en uno de los vértices de una placa cuadrada delgada con lado L.
El momento de inercia de una placa rectangular con lados \(a\)\(b\) que gira en torno a un eje que la atraviesa perpendicularmente por el centro es.
Inercia de una placa rectangular delgada en torno a un eje perpendicular al plano de la placa que pasa por su centro de masa
Ya conociendo el momento de inercia de una placa rectangular en torno a un eje que pasa por su centro de masa \({I}_{cm}\), y sabiendo por el teorema de pitágoras que la distancia \(d\), entre un eje situado en un vértice p de la placa rectangular, perpendicular a esta y un eje situado en el centro de masa, perpendicular a la placa, es.
Distancia entre dos ejes paralelos entre si, pero perpendiculares al plano de la placa
Sea \({I}_{p}\) la inercia de una placa en torno a un eje que pasa por el punto \(p\), y sea \({I}_{cm}\) la inercia de una placa en torno a un eje que pasa por el centro de masa de la placa, y además sea \(d\) la distancia que existe entre ambos ejes, entonces la inercia en un punto \(p\) viene dada por :
Teorema de los ejes paralelos en el momento de inercia
La siguiente gráfica muestra los ejes paralelos que pasan por el punto \(p\) y por el centro de masa \(cm\), y estos puntos están separados una distancia \(d\).
Ejes que son paralelos que pasan por el punto p y el centro de masa cm
Ahora estamos en condiciones de usar el teorema de los ejes paralelos, para calcular el momento de inercia de la placa rectangular en torno a un eje perpendicular a esta que pasa por el punto \(p\), para este propósito usaremos el teorema de los ejes paralelos como se muestra a continuación.
Inercia de un eje que pasa por p
Así que el momento de inercia de una placa rectangular delgada respecto a un eje que pasa por uno de sus vértices, siendo \(a\) y \(b\), sus respectivos ancho y largo de la placa, es:
Inercia de una placa rectangular en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa

Momento de inercia de una placa cuadrada delgada respecto a un eje que la atraviesa perpendicularmente por uno de sus vértices
Debemos decir que este momento de inercia que analizaremos ahora, es un caso especial del momento de inercia de una placa rectangular en torno a un eje que la atraviesa perpendicularmente por un vértice p, así que lo que haremos ahora para obtener el momento de inercia de una placa cuadrada es tomar \(a=b=L\) y hacer las sustituciones de lugar, 
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
El momento de inercia de una placa cuadrada delgada con lado \(L\), en torno a un eje que pasa por un vértice \(p\), perpendicular al plano de la placa, es:
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
Vea también
Inercia de una esfera sólida

Inercia de una esfera hueca

Inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente

Inercia de una placa delgada con densidad uniforme 1

Inercia de una placa delgada con densidad variable 2

Inercia de una varilla con densidad uniforme

Inercia de una varilla con densidad variable

viernes, 24 de febrero de 2017

Potencia y trabajo

En este post hablaremos de las diferentes maneras de obtener el trabajo y la potencia desarrollada en un movimiento, en el que la fuerza es tangente a la trayectoria de una curva.
Si consideramos que una fuerza constante \(F\) es aplicada a una curva circular una distancia \(\Delta s\), entonces el trabajo \(\Delta w\) realizado por esta fuerza es.


El trabajo es considerado un escalar ya que observando la imagen del circulo podemos demostrar que \(\vec{F}\cdot \Delta \vec{s}\)
es igual a \(F\Delta s\), si el vector fuerza se descompone en dos componentes vertical \(F\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(F\cos{\theta}\vec{j}\) , si también descomponemos el vector desplazamiento en su vertical \(\Delta s\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(\Delta s\cos{\theta}\vec{j}\), realizando el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento tenemos.


Pero \(\Delta s= r\cdot \Delta \theta\), así que una pequeña cantidad de trabajo \(\Delta w\) es entonces igual a \(Fr\Delta \theta\), así que si dividimos ambos miembros de esta ecuación entre \(\Delta t\), obtendremos la potencia media.

Por lo que muestran las fórmulas se puede decir que la potencia media es igual al incremento de trabajo entre el incremento del tiempo.
Por lo que un trabajo diferencial que es realizado por una fuerza tangente a la trayectoria de una curva es entonces.

La potencia instantánea la obtenemos aplicando límites cuando \(\Delta t\) tiende a cero a ambos lados de la expresión que representa la potencia media.

Así que la potencia instantánea es igual a la tasa de cambio del trabajo respecto del tiempo, también la potencia instantánea se puede definir matemáticamente como la derivada del trabajo respecto del tiempo.
Ahora bien si despejamos \(dw\) de la potencia instantánea y aplicamos integrales a ambos lados, obtenemos el trabajo realizado por una fuerza tangente a una trayectoria curva en un intervalo de tiempo determinado.

Por lo que si la potencia es constante en un intervalo de tiempo \(\Delta t={t}_{2}-{t}_{1}\), entonces el trabajo realizado es.

Por lo que si tomamos \({t}_{2}=t\)\({t}_{1}=0\) entonces \(\Delta t=t\) y el trabajo es.

Ahora bien la potencia instantánea que desarrolla una fuerza tangente a un circulo con radio \(r\) es entonces igual.

Así que una fuerza tangente y constante aplicada a un objecto que se mueve con velocidad angular variable \({w}_{z}\) en una trayectoria circular de radio \(r\), produce una potencia igual a.

Pero observamos que \(F\cdot r\) es el momento de torsión \(\tau\), así que la potencia la podemos reescribir también como.

Dicho todo esto vamos a resolver algunos ejercicios relacionados con trabajo y potencia.

a)¿Cuánto trabajo medio realiza una persona que levanta verticalmente una masa de 20kg una distancia de 1.3m? b) Si tarda 5 segundos ¿Qué potencia media desarrolla en watt y hp?
Solución (a):
La persona levanta una masa de 20kg, para poderla levantar esta persona deberá aplicar una fuerza equivalente al peso, y el ejercicio nos da la distancia que es movida la masa 1.3m, por tanto con estos datos podemos calcular el trabajo medio realizado.

Ya conocemos el trabajo medio 254.8 Joules.
(b) Conociendo el trabajo medio, y el tiempo promedio en que se realiza este trabajo es de 5 segundo, con estos datos podemos calcular la potencia media en watts y hp.

Y la potencia media en watts y hp o caballos de fuerzas es de 50.96watts y 0.068hp respectivamente.

Si sabemos que un motor desarrolla una potencia media de 400 caballos de fuerzas(hp) que le otorga una velocidad angular media de 500RPM. ¿Que momento de torsión desarrolla?
Solución:
Lo primero que hacemos es convertir los caballos de fuerza a watts y las revoluciones por minutos(RPM) las convertimos en rad/s, y ya luego calculamos el momento de torsión.

Ya hicimos las respectivas conversiones, así que ahora nos avocamos a obtener el momento de torsión \(\tau\).

Y el momento de torsión es de 5683.8N·m

Vea también

Trabajo y energía

Desafío de física

viernes, 10 de febrero de 2017

Solución de un problema usando la primera y la segunda ley de Newton 02

Vamos en este post a seguir trabajando en la soluciones de problemas que involucran la primera y la segunda ley de Newton.
Si el sistema que se muestra en la gráfica se mueve hacia la derecha con velocidad constante, y consideramos que el objecto A y B pesan ambos 26N y el coeficiente de fricción cinética de A y B es 0.40, y asumimos que la cuerda que une los cuerpos A, B y C es insignificante. a) Obtenga el diagrama de cuerpo libre de A, B y C
b) ¿Cuánto pesa el cuerpo C? c) Si se cortara la cuerda que une A y B ¿Qué aceleración experimentarían B y C?
Sistema de objectos en movimiento
Solución (a):
Sobre el objecto A actúan 4 fuerzas, la fricción \({f}_{k-A}\), la tensión \({T}_{AB}\), el peso \({w}_{A}\) y el peso normal \(n\), sobre el objecto C solo actúan dos fuerzas el peso \({w}_{C}\) y la tensión \({T}_{BC}\), y por último sobre el cuerpo B actúan las fuerzas perpendiculares al plano donde se encuentra el cuerpo B \({n}_{B}\)\({w}_{B}cos{{40}^{\circ}}\), paralelas al plano actúan \({T}_{BC}\)
\({f}_{k-B}+{w}_{B}sin{{40}^{\circ}}+{T}_{AB}\).
Diagramas de cuerpos libres de A, B y C
Solución (b):
Nota: tomaremos siempre como negativas las fuerzas que actúan en sentido contrario a la dirección en que se mueve el sistema que es hacia la derecha.
Como los objectos se mueven a velocidad constante, podemos aplicar la primera ley de Newton al objecto A y obtener la tensión de la cuerda que une A y B.
Tensión en la cuerda que une A y B
Ya sabiendo que \({T}_{AB}=10.4N\), pasamos ahora a encontrar la tensión \({T}_{BC}\), como el cuerpo B también se mueve con velocidad constante también le aplicaremos la primera ley de Newton.
Tensión en la cuerda que une B y C
Y ya teniendo \({T}_{BC}=35.08N\) podemos averiguar cuánto pesa el objecto C, para esto vamos a aplicar la primera ley de Newton al objecto C.
Peso del objecto C
Y el objecto C pesa 35.08N aproximadamente.
Solución (c):
Si se corta la cuerda que une A con B, evidentemente como el peso C es mayor que las fuerzas que actúa paralelas al plano de B se creará una aceleración que afectará a B y C por igual, así que para calcular esta aceleración tomaremos \({T}_{AB}=0\) y calcularemos la masa de B y C dividiendo los pesos \({w}_{B}\) y \({w}_{C}\) entre \(g\), y aplicaremos la segunda ley de Newton.
Aceleración de B y C
Como se puede observar solo nos queda resolver el sistema de ecuaciones para así obtener la aceleración \(a\).
Aceleración de B y C
Y la aceleración es de 1.67m/s2.

Vea también

Solución de un problema usando la primera y la segunda ley de Newton 01

Solución de un sistema de ecuaciones

jueves, 26 de enero de 2017

Equilibrio y condiciones de equilibrio

Vamos a hablar en este post sobre lo que es el equilibrio desde el punto de vista de la física.
Lo primero que debemos decir es que un cuerpo se considera en equilibrio si las fuerzas externas que actúan sobre este no causan ni traslación ni rotación.
Esto significa que para que un cuerpo esté en equilibrio deben de cumplirse dos condiciones; la primera es que se cumpla la primera ley de Newton, es decir que todas las componentes de fuerzas que actúen sobre un cuerpo su suma vectorial y cuantitativa sea cero.
Condición de equilibrio 1
La segunda condición es que todos los momentos de torsión o torques en cualquier punto de un cuerpo en equilibrio su suma vectorial y a nivel de magnitudes debe también ser igual a cero, así siempre en física el momento de torsión se representa por la letra griega (Tau \(\tau\)).
Condición de equilibrio 2
El momento de torsión es un vector y este es perpendicular tanto al brazo de palanca como a la fuerza que actúa sobre este brazo de palanca, debemos decir que se considera el brazo de palanca a la distancia a la que se aplica la fuerza respecto de un punto del cuerpo, a este punto respecto del cual se aplica la fuerza en física se le conoce como el punto de torque o pivote.
El momento de torsión también se define como el producto vectorial del vector que representa la distancia a la que se aplica una fuerza y el vector fuerza.
Vector momento de torsión
La siguiente gráfica muestra el punto de torque \(P\) o pivote, el vector brazo de palanca \(\vec{l}\) y la fuerza torcedora \(\vec{F}\).
Dibujo de una grúa
Si una fuerza cuya magnitud es \(F\) actúa perpendicular a un brazo de palanca cuya magnitud es \(l\), entonces el momento de torsión queda definido como el producto de estas magnitudes.

Si hacemos un diagrama de cuerpo libre mas simple de la imagen de arriba y descomponemos la fuerza en dos componentes.
Diagrama de cuerpo libre de la grúa
El momento de torsión es máximo cuando la fuerza actúa perpendicular al brazo de palanca y es mínimo o igual a cero cuando la fuerza actúa paralela al brazo de palanca, es decir el momento de torsión depende del ángulo que forman el vector distancia de apoyo o brazo de palanca y la fuerza, en el diagrama de cuerpo libre anterior se puede observar que el momento de torsión es \({F}_{y}l\), pero \({F}_{y}\) es igual  a \(Fsin{\alpha}\) y la magnitud del momento de torsión entonces queda definida como.
Magnitud del vector momento de torsión
Esto nos dice que si una fuerza actúa paralela a el brazo de palanca de un punto pivote, independientemente de donde se aplique esta fuerza no contribuirá al momento de torsión ya que en este caso \(\alpha=0\) y por tanto \(Flsin{{0}^{\circ}}\) es igual a cero, mientras que si una fuerza actúa perpendicularmente al brazo de palanca del punto pivote su torsión sobre un punto pivote a una distancia \(l\) es \(Fl\) ya que el ángulo para este caso es de \({90}^{\circ}\)\(\sin{{90}^{\circ}}=1\).
Así que si \(\alpha\) es el ángulo entre los vectores \(\vec{l}\)\(\vec{F}\) y si \(l\)\(F\) son las magnitudes del vector fuerza y el vector palanca, entonces el momento de torsión es.
Magnitud del vector momento de torsión
Si dos fuerzas con misma magnitud \(F\) son paralelas y actúan en direcciones opuestas pero perpendiculares respecto a un punto pivote O que está a una distancia \(r\) respecto a un punto O entonces los respectivos momentos de torsión son opuestos, y podemos tomar un momento negativo y otro positivo \(-Fr\)\(Fl\).
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Así que podemos concluir que que el momento de torsión respecto a este punto es igual a cero ya que.
\(\sum\tau=Fr-Fr=0\)
Y el cuerpo estaría en equilibrio rotacional ya que no habría tendencia a girar ni hacia arriba ni hacia abajo.
Ahora bien si las magnitudes de dichas fuerzas fueran de diferentes magnitudes entonces la torsión respecto a O es.
\(\sum\tau={F}_{1}r-{F}_{2}r=\left({F}_{1}-{F}_{2}\right)r\)
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y si \({F}_{1}>{F}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a moverse o a girar respecto a O hacia arriba, mientras que si \({F}_{1}<{F}_{2}\) el objecto tendrá tendencia a girar respecto a O hacia abajo.
No obstante si la fuerzas son de igual magnitud \(F\) y estas son aplicadas en diferentes puntos \({r}_{1}\)\({r}_{2}\), entonces el momento de torsión será diferente de cero es decir.
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y en este caso si \({r}_{1}>{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia arriba, mientras que si \({r}_{1}<{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia abajo.

Bueno y dicho esto vamos a ver un pequeño problemita que ilustra bien lo que es un objecto en equilibrio estático.

Halla el punto \(x\) de equilibrio respecto de la masa de 20kg donde se debe colocar el objecto de forma triangular, si las masas de 20kg y 50kg que conforman el sistema están separadas 10m y si consideramos la masa de la tabla morada como insignificante.
Masas en equilibrio estático
Solución:
Tomamos \({m}_{1}=20kg\)\({m}_{2}=50kg\)\(r=10m\), así que las fuerzas que actúan sobre este sistema se deben a la gravedad, entonces consideramos \({w}_{1}\) como el peso de \({m}_{1}\)\({w}_{2}\) el peso de \({m}_{2}\), y podemos observar que la masa \({m}_{1}\) está a una distancia \(x\) del punto de equilibrio, y \({m}_{2}\) entonces está a una distancia \(r-x\) del punto de equilibrio.
Los momentos de torsión que los pesos \({w}_{1}\)\({w}_{2}\) son \({\tau}_{1}={w}_{1}x\) y \({\tau}_{2}={w}_{2}\left(r-x\right)\) respectivamente, y si aparte de esto consideramos positivos los momentos de torsión que tienden a hacer girar el sistema en sentido antihorario, y negativos los que tienden a hacer girar el sistema en el sentido horario, entonces \({\tau}_{1}\) es positivo y \({\tau}_{2}\) es negativo.
Por último hacemos la sumatoria de los dos momentos de torsión y aplicamos la segunda condición de equilibrio para entonces hallar la variable meta \(x\) que representa la distancia respecto a la masa de 20kg donde el sistema está en equilibrio, todos los cálculos se muestran a continuación.
Encontrando el punto de equilibrio del sistema

Y el punto de equilibrio del sistema se encuentra a 7.14m de \({m}_{1}\).
Algo bien curioso es que en el artículo [punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las circunferencias], hallamos que el punto de intersección era.
Punto de intersección de una recta tangente a dos circunferencias y una recta que pasa por el centro de ambas
Y resulta que este punto se corresponde con la distancia a la que se encuentra el punto de equilibrio respecto a la masa mayor \({m}_{2}\), si igualamos \({r}_{1}={m}_{1}\) y \({r}_{2}={m}_{2}\), entonces la distancia \(x\) a la que  se encuentra \({m}_{2}\) del punto de equilibrio es.
Distancia del punto de equilibrio respecto de la masa m2
!Curioso, bien curioso¡

Vea también

Centro de masa

Producto vectorial

Primera ley de Newton