Geometría - Matemática y Física

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martes, 5 de diciembre de 2017

Área de un polígono regular e irregular usando la técnica de papel cuadriculado

En este post presentaremos la técnica de área cuadriculada, cuando hablamos de área cuadriculadas nos referimos  a la determinación del área de un polígono regular o irregular dibujada en un papel cuadriculado.
Primero en base a los cálculos de área de la diferentes figuras mostradas en la siguiente gráfica, deduciremos de manera experimentar un modelo matemático que nos permita calcular el área de cualquier polígono dibujado sobre un papel cuadriculado independientemente de que este sea regular e irregular. 
cuadrado dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Empezaremos calculando el área de una única cuadricula que es igual a \(1{u}^{2}\), pudiendo ser esta unidad \(u\), un centímetro, un metro u otra unidad medida.
Y las área de las figuras 1, 2 y 3 se calcula como se muestra a continuación.
Área de de los tres cuadrados dibujados en papel cuadriculado

Ahora formaremos otra forma geométrica en el papel cuadriculado para corroborar que con cualquier forma dibujada en un papel cuadriculado se cumple el mismo proceso de cálculo en base a los puntos externos e internos de una figura geométrica.
Paralelogramo dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para el área de la figura 1 tomamos los puntos perimetrales externos igual a 4 y lo puntos internos a la línea perimetral la tomamos como igual a cero, teniendo presente que para que un punto sea contado externamente la línea perimetral externa debe cruzar por este y además dos línea perpendiculares de la cuadricula deben interceptarse en ese punto punto, mientras que para un punto ser interno debe simplemente la intercepción de dos líneas perpendiculares deben interceptarse internamente.  
área del pralelorgramo uno dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para la figura 2 observamos que los puntos externos son 8, mientras los internos son igual a uno, y el área entonces es
área del pralelorgramo dos dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Y para la figura 3 vemos que los puntos externos son 12 mientras los internos son 4, y área es como se muestra a continuación.
área del pralelorgramo tres dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

De todos los ejemplos anteriores, en los que hemos calculados el área de figuras geométricas en papel cuadriculado se cumple lo siguiente:
“El área de cualquier polígono regular e irregular dibujado en una cuadricula es igual a la mitad de los puntos perimetrales del polígono \(E\), sumado al total de los puntos interiores \(I\) de la cuadrícula menos uno.”
Fórmula que permite calcular el área de un polígono regular e irregular en función de ls puntos externos e internos de la cuadricula sobre la que se dibuja el polígono

Ya teniendo una relación matemática que nos permite calcular el área de cualquier polígono cuadriculado, vamos a resolver un último ejercicio.
Hallar el área de las siguientes figuras sabiendo que cada cuadrícula cuadrada mide de lado un centímetro.
Polígono irregular de diez lados dibujado sobre papel cuadriculado de un centímetro

Solución:
En esta figura podemos notar que la cantidad de puntos externos perimetrales del polígono es 16 mientras que los puntos internos son 25, así que el área de este polígono es como se calcula a continuación.
Proceso de cálculo del área del polígono de diez lados

Y como en nuestro caso tomamos una cuadricula de lado de un centímetro, entonces el área de superficie es de \(32{cm}^{2}\).

martes, 18 de abril de 2017

Ángulo externo a una circunferencia y problemas resueltos

En esta post vamos a continuar hablando de la aplicación del tema [Ángulo central, inscrito, interior y externo a una circunferencia], a la solución de problemas relacionados con este tema.
Este problema que analizaremos a continuación, a mi parecer es un ejemplo de lo que es el dibujo geométrico hecho con esplendidez, ya que el mismo dibujo nos inspira a llegar a su solución analítica.

1- El ángulo 1 es externo a un número infinito de circunferencias, ya que los rayos de este interceptan cada circunferencia exactamente en los mismos cuatros puntos, formando dos arcos que son iguales en cada circunferencia, si en cada circunferencia se forma un rombo y la distancia del vértice interior a una circunferencia del rombo a el centro de dicha circunferencia es directamente proporcional al radio de dicha circunferencia, ¿Hallar la medida enésima de los arcos menores y mayores de todas las circunferencias que siguen el mismo patrón de la siguiente figura?
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
El problema nos dice que la distancia de un punto interior del círculo que coincide con el vértice de un rombo \(d\) es directamente proporcional al radio \({r}_{n}\), así que se cumple que \(d=k{r}_{n}\) , siendo \(k\) la constante de proporcionalidad.
Lo primero que haremos es lanzar una línea auxiliar que vaya del vértice interior del rombo a el punto de intercesión de dos circunferencias consecutivas y uno de los rayos del ángulo 1, también colocamos el radio del circulo desde el centro hasta este punto de intercesión, el objetivo es hallar la distancia \(h\) mediante el teorema de pitágoras, y luego encontrar el ángulo \(\theta\) que representa la mitad de la medida del arco mayor del enésimo círculo en el patrón, así que la medida del arco mayor de cualquier círculo en el patrón debe ser igual al doble de este ángulo, todo estos cálculos se muestran a continuación.
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Así que la medida de un arco \(\widehat{CD}\) en una enésima circunferencia del patrón presentado en el problema es.
Medida-del-arco-CD
En donde \(k\) está dentro del intervalo \(0< k \leq 1\), así que la medida del arco \(\widehat{CD}\) está en el intervalo \(180< k \leq 0\).
Para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\), la encontraremos usando la fórmula que nos permite obtener el ángulo externo a una circunferencia, de donde despejaremos este arco como se muestra continuación.
Obtención-del-arco-AB
Y la medida del arco \(\widehat{AB}\) en una enésima circunferencia del patrón descrito en el problema es igual a:
Medida-del-arco-AB
Y bueno, sería interesante resolver un ejercicio con datos numéricos que nos permita observar como se aplican las fórmulas deducidas en este artículo.

2- Si un ángulo externo a un número infinito de circunferencias como muestra la figura 1 mide 47.96º, y sabemos que la constante de proporcionalidad entre la distancia \(d\) que va desde el vértice interior de un rombo dentro de una enésima circunferencia al centro de esta es 0.291. ¿Cuánto miden los arcos mayores y menores que forman los rayos del ángulo externo al interceptar cada circunferencia?.
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
Para solucionar este ejercicio lo primero que hacemos es organizar los datos que nos ofrecen, el ejercicio dice que la constante de proporcionalidad es 0.291, así que \(k=0.291\) y la medida del ángulo externo a todas las circunferencia en el patrón es igual 47.96º, con estos dos datos podemos determinar la medida del arco \(\widehat{AB}\) que representa todos los arcos menores de cada circunferencia y \(\widehat{CD}\) que representa todos los arcos mayores.

Solución-de-ejercicio-2
Y la medidas de los arcos menores y mayores son 50.24º y 146.16º respectivamente.

Vea también

Problema 1

Ángulo central, inscrito, interno y exterior a una circunferencia

lunes, 3 de abril de 2017

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia y problemas resueltos

Vamos en este post a ver como se aplican los conceptos, ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia a la resolución de ejercicios y problemas, así que para una mayor comprensión de los ejemplos les recomiendo ver el artículo [Ángulo central, inscrito, interior y exterior a una circunferencia].
Y sin más preámbulos comencemos...
1) Si los ángulo \(x\)\(y\) siguen las direcciones que se muestran figura 1.
a) Si \(x\) mide 20º y el ángulo \(y\) mide 60º ¿Cuántos grados miden los arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\)?
b) Encontrar una fórmula para los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), en función de los ángulos \(x\)\(y\).
figura 1
Solución:
Como \(x\) es un ángulo externo a la circunferencia de la figura 1, vamos a utilizar la fórmula que nos permite calcular la medida de este ángulo en función de la medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como \(y\) es un ángulo interior a la circunferencia vamos a usar la relación matemática que nos permite calcular su medida en función de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como se puede observar en la figura 1, los rayos de los ángulos \(x\) e \(y\) pasan o describen los mismos arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\).
Fórmulas-de-los-ángulos-internos-y-externo-a-una-circunferencia
Así que sustituiremos \(m\angle x\) por 20º y \(m\angle y\) por 60º, y formaremos un sistema de ecuaciones en donde las variables metas seran los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\) y resolvemos nuestro sistema de ecuación por el método de reducción.
Resolución-de-problema-1
Ahora sustituimos el valor de \(m\widehat{CD}\) en la expresión \(m\widehat{CD}+m\widehat{AB}={120}^{\circ}\) para obtener \(m\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) miden 40º y 80º respectivamente.
b) Al igual que la solución a la parte a) vamos a encontrar una relación matemática para el arco \(\widehat{DC}\) en función de las medidas de los ángulos \(x\)\(y\), vamos a sumar las fórmulas que se usan para calcular los ángulos \(x\)\(y\), ya que esto nos permite eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\) en función de las medidas de \(x\)\(y\), a la medida del ángulo \(y\) le restaremos la medida del ángulo \(x\), para de esta manera eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{DC}\).
Resolución-de-problema-1
Y las medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) en función de la medidas de los ángulos \(x\)\(y\) son.
Resolución-de-problema-1
2) Demostrar que si los rayos de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia pasan por el diámetro de esta, entonces estos ángulos miden 90º.
Solución:
Para hacer esta demostración vamos a dibujar tres ángulos 1, 2 y 3 que pasen por la cuerda diametral AB como muestra la figura 2.
figura-2
Y como podemos observar en la figura 2, la medida del arco \(\widehat{AB}\) es igual a la medida del ángulo llano central, y como todos sabemos este ángulo es la mitad de un ángulo con un giro de 360º es decir mide 180º. Con este dato y sabiendo que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a mitad del arco que suscribe, se cumple que las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 son.
Solucion-de-problema-2
Y queda demostrado que cualquier ángulo inscrito cuyos rayos pasen por la cuerda del diámetro mide 90 grados.

Vea también

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia

Problema resuelto 2

martes, 28 de marzo de 2017

Ángulo central, inscrito, externo e interno a una circunferencia

En este post vamos a analizar las características de los ángulos que están relacionado con la curva de la circunferencia de un círculo, así que vamos a estar hablando de un ángulo central en una circubferencia, un ángulo inscrito en una circunferencia y además de un ángulo externo a una circunferencia cuyos rayos tocan la circunferencia.
Ángulo central
Es un ángulo cuyo vértice está localizado en el centro de una circunferencia. Este ángulo tiene una medida igual al arco que describen los rayos en la circunferencia.
Ángulo-central-de-una-circunferencia
La medida del ángulo central \(\angle AOB\) es igual a la medida del arco \(\widehat{AB}\).
\(m\angle AOB=m\widehat{AB}\)
Ángulo inscrito en una circunferencia
Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.
Para obtener la expresión matemática que nos permite calcular la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-inscrito-en-una-circunferencia
En la figura se lanza una línea auxiliar desde el punto A al punto O, esto nos permite conformar el triángulo isósceles \(\Delta AOB\) cuyos ángulos de la base son igual a \(\theta\).
Lo primero que haremos es sumar los ángulos internos del triángulo isósceles \(\Delta AOB\) y despejaremos el ángulo \(\gamma\).
Suma-de-los-ángulos-internos-de-AOB
Pero el ángulo \(\gamma\) forma un par lineal con el ángulo \(\alpha\) por lo que su suma es de 180º, en esta nueva expresión sustituimos el anterior despeje de \(\gamma\), para así obtener  una relación entre el ángulo inscrito en la circunferencia \(\theta\) y el ángulo central \(\alpha\), todo esto se muestra continuación.
Medida-de-ángulo-inscrito
Pero \(\alpha\) es un ángulo central así que su medida es igual a la medida del arco \(\widehat{AC}\), por lo que la expresión anterior la podemos reescribir así.
 Medida-de-ángulo-inscrito
En conclusión un ángulo cuyo vértice está inscrito a una circunferencia su medida es igual a la mitad del arco que describe.
Medida-de-ángulo-inscrito
Ángulo externo a una circunferencia
Es un ángulo cuyo vértice es externo a una circunferencia pero cuyo rayos interceptan o tocan la circunferencia.
Para conocer la medida de un ángulo con estas características nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-externo-a-una-circunferencia
Ante de todo, lanzamos la línea auxiliar BD, delimitando así el triángulo \(\Delta ABD\) cuyos ángulos son \(x\)\(y\)\(z\), y aparte de esto la línea auxiliar nos permite obtener el ángulo inscrito \(\angle BDC\) en la circunferencia. Lo primero que hacemos es sumar los ángulo internos en el triángulo \(\Delta ABD\), que como sabemos son igual a 180º, y despejamos el ángulo \(y\) que es el ángulo externo a la circunferencia cuya medida queremos averiguar.
Suma-de-los-ángulos-internos-de-BDC
Pero también observamos que los ángulos \(z\) y \(s\) forman un par lineal así que su suma también es 180º, así que despejamos el ángulo \(z\) y sustituimos su valor en el despeje del ángulo \(y\).
Deducción-de-ángulo-externo
Y observamos en la gráfica de mas arriba que \(s\)\(x\) son dos ángulos inscritos en la circunferencia cuyas medidas identificamos que son iguales a la mitad de los arcos que describen, así que el ángulo \(y\) es igual a.
Deducción-de-ángulo-externo
Así que la medida de un ángulo externo a una circunferencia cuyos rayos tienen contactos con esa circunferencia es igual a la semi diferencia de los arcos que describen los rayos en la circunferencia.
Medida-de-un-ángulo-externo-a-una-circunferencia
Ángulo interno en una circunferencia
Un ángulo interno en una circunferencia es aquel cuyo vértice se encuentra en el interior de la circunferencia.
Para obtener una relación que nos permita obtener la medida de un ángulo interior en una circunferencia nos guiaremos de la siguiente figura.
Ángulo-interno-a-una-circunferencia
Lo primero que hacemos es dibujar la línea auxiliar AD, esto nos permite delimitar el triángulo \(\Delta AOD\), así que igualamos la suma de los ángulos internos de este triángulo a 180º, y como el ángulo \(x\)\(k\) forman un par lineal su suma es igual también a 180º, así que despejamos \(x\) y la sustituimos en la expresión de la suma de los ángulos internos del triángulo \(\Delta AOD\) y de esta manera despejar el ángulo \(k\), que es el ángulo interno en la circunferencia cuya medida queremos averiguar.
Deducción-de-la-medida-de-ángulo-interior-a-una-circunferencia
Y como sabemos la medida de los ángulos \(y\)\(z\), son igual a la mitad de los arcos que describen, así que el ángulo \(k\) es igual a.
Deducción-de-la-medidade-ángulo-interior-a-una-circunferencia
Entonces la medida de un ángulo interior \(k\), que cuyas extensiones de sus rayos describen los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), es igual a la media de las medidas de estos arcos.
Medida-de-ángulo-interior-a-una-circunferencia
En una segunda fase de este artículo estaremos viendo varios ejercicios resueltos sobre estos temas.

Problemas resueltos

Problemas resueltos 2

martes, 7 de febrero de 2017

Medida de la circunferencia de la tierra según Eratóstenes

Bueno vamos a ver en este post como pudo el matemático griego Eratóstenes medir aproximadamente la longitud de la circunferencia de la tierra.
Decimos aproximadamente ya que en sus cálculos por ejemplo Eratóstenes asume que la tierra es perfectamente esférica, lo que hoy día sabemos que no es así.
Aunque para la época en que Eratótenes hizo estos cálculo, se puede pasar por alto cualquier posible error en las apreciaciones y mediciones del globo terráqueo.
Y dicho esto vamos a analizar los pasos básicos que dio Eratóstenes que le llevaron a la conclusión de que la circunferencia terrestre mide aproximadamente 250,000 estadios.
Longitud de un arco de un círculo
Si conocemos la longitud \(S\) de una circunferencia y conocemos el ángulo \(\beta\) que un arco \(\Delta s\) suscribe como muestra la figura, sabiendo que un giro completo de una circunferencia mide \({360}^{\circ}\), entonces \(\Delta s\) viene dado por la fórmula.
Longitud de un arco de un círculo
Resulta que mediante trabajos de campo Eratóstenes averiguó que la longitud \(\Delta s\) que representa la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, el se dio cuenta de que en una temporada del año los rayos solares impactaban perpendicularmente la superficie de la cuidad de Siena, así que en esa misma temporada el científico clavó una vara en la ciudad de Alejandría, dándose cuenta de que la vara proyectaba una sombra, Eratóstenes entonces midió con las herramientas de su época el ángulo respecto a la longitud de la vara a la que se proyectaba la sombra, y la pregunta es ¿Por que midió la longitud de este ángulo?
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Resulta que el ángulo \(\theta\) es el mismo ángulo al que se encuentra Siena de Alejandria, según sus suposiciones los rayos solares se transmiten paralelos entre si, pero perpendiculares a la superficie de la cuidad de Siena, así que si se considera la tierra perfectamente esférica, entonces podemos demostrar que el ángulo \(\beta\) que muestra la siguiente figura es igual al ángulo \(\theta\).
Rayos solares incidiendo en la superficie
El rayo A rojo forma un ángulo \(\theta\) con la vara en Alejandria y a su vez observamos que \(\theta\) es un ángulo del triángulo rectángulo \(\Delta AEO\),entonces hallando las relaciones para el ángulo \(z\) demostraremos que \(\theta=\beta\).
Demostración de que theta es igual a beta
Y sabiendo esto procedemos a despejar \(S\) de la relación dada al principio de este artículo que nos permite calcular una pequeña porción de longitud de una circunferencia \(\Delta s\).
Longitud completa de una circunferencia
Y según el artículo de wikipedia [Historia de Eratóstenes], Eratóstenes obtuvo \(\beta={7.2}^{\circ}\) como la separación angular entre Siena y Alejandria, y \(\Delta s=5000\)estadios como la distancia entre ambas, así que con estos datos podemos confirmar la medida que obtuvo Eratóstenes para la circunferencia terrestre que fue de \(S=250000\)estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes
Pero Erastóstenes según cuenta la historia rectificó el ángulo entre Siena y Alejandria en \(\beta={7.14}^{\circ}\), así que con este cambio la nueva longitud de la circunferencia que obtuvo fue de 252000 estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes

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