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viernes, 17 de noviembre de 2017

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

En este post vamos abordar el volumen de una esfera, en esta ocasión usando integrales triples y coordenadas cilíndricas, como se señaló en el artículo [Coordenadas cilíndricas], las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares a tres dimensiones, es por ello que un pequeño volumen diferencial expresado en coordenadas cilíndricas es.
diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas

Que gráficamente se ve así.
gráfico entramado de un porción de volumen en coordenadas cilíndricas

Así que el volumen puede quedar expresado así.
volumen expresado con triple integral y coordenadas cilíndricas

Así que la región sólida cilíndrica que utilizaremos para encontrar el volumen de una esfera la tomamos como se muestra a continuación.
Región sólida en coordenadas cilíndricas sobre la cual encontraremos el volumen de una esfera de radio a

Recordemos que la ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares es:
Ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares

Y para expresarla en coordenadas cilíndricas se realiza el siguiente proceso.
Ecuación de una esfera expresada en coordenadas cilíndricas

Donde \(z\) positiva representa la mitad superior de la esfera y \(z\) negativa la mitad inferior de la esfera, por lo que.
\(-\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\leq z\leq\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}\)
Dicho todo lo anterior procedamos con el proceso de integración triple, con coordenadas cilíndricas sobre la región sólida Q dada en la expresión (1).
Volumen de una esfera de radio a, con triple integral y coordenadas cilíndricas

Lo primero que haremos es realizar la integración en el mismo orden de los diferenciales de \(z\), \(r\) y \(\theta\), así que empezaremos con la variable \(z\).
Proceso de integración de la variable z

Ahora pasamos a integral la variable \(\theta\), para este proceso sacaremos esta integral interna por separado de la integral doble y aplicaremos la técnica de cambio de variable y redefiniremos el intervalo de integración, todo este proceso se muestra continuación.
Proceso de integración de la variable r, en conjunto con la técnica de integración, cambio de variable

Ahora sustituimos el valor de la integral obtenida en la integral doble y procedemos a simplificar la integral que nos falta para así obtener el volumen de una esfera con radio \(a\).
Proceso de integración de la variable theta

Queda demostrado que usando integrales triples y coordenadas cilíndricas el volumen de una esfera con radio \(a\) es.
volumen de una esfera de radio a, usando integrales triples y coordenadas cilíndricas

Vea también.

Volumen de una esfera usando integrales triples y coordenadas rectangulares.

Volumen de una esfera usando integrales dobles.

Volumen de una esfera usando una sola integral.

Volumen de una esfera usando integrales dobles y coordenadas polares.

martes, 14 de noviembre de 2017

Ejercicios resueltos de la distancia de un punto a una recta usando cálculo vectorial

En un artículo pasado estábamos demostrando que la distancia de un punto a una recta la podemos obtener mediante la fórmula matemática.
Distancia de un punto a una recta usando cálculo vectorial

Donde \(\vec{u}\) es paralelo a la recta \(Ax+By+C=0\), mientras que  \(\vec{v}\) es un vector que parte de cualquier punto sobre la recta \(Ax+By+C=0\) hasta un punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\) en el plano cartesiano \(xy\).
Así que básicamente en este artículo lo que haremos es resolver algunos problemas utilizando la expresión (1), así que sin más pérdida de tiempo empecemos con el primer ejercicio.
1--Hallar la distancia más cercana de la recta \(x+2y+2=0\) al punto  \(\left(0,0\right)\).
Solución:
Primero hallamos el vector \(\vec{u}\), que debe tener la misma dirección que la recta, así que colocamos \(x+2y+2=0\) en la forma punto pendiente que es:
Ecuación de una recta en la forma punto pendiente

Donde \(m=-1/2\) y \(b=-1\), tomando como referencia la pendiente que es igual a la tangente  del ángulo de inclinación de la recta vamos a obtener el vector \(\vec{u}\), como se muestra a continuación.
pendiente de una recta en el plano xy

Podemos tomar el vector \(\vec{u}\) igual a \(\left(1,m,0\right)\), donde tomamos la coordenada \(z\) igual a cero ya que la recta está en el plano \(xy\),  osea:
vector paralelo a la recta con pendientes m

Y la magnitud de \(\vec{u}\) es:
magnitud del vector u

Mientras tanto el vector \(\vec{v}\) es la diferencia de las coordenadas de los puntos \(\left(0,b,0\right)\) y el punto \(\left(0,0,0\right)\), donde \(b=-1\), esto es:
vector v

Ya teniendo los valores de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) procedemos a obtener la magnitud de su producto vectorial.
Producto vectorial de u y v

Ya teniendo la magnitud del producto vectorial de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) y conociendo la magnitud del vector \(\vec{u}\), la distancia del punto \(\left(0,0\right)\) a la recta \(x+2y+2=0\), la calculamos como sigue a continuación:
Proceso de cálculo de la distancia de un punto a una recta

2—Hallar la distancia del punto \(\left(1,2\right)\), a la recta que pasa por los puntos \(\left(2,0\right)\) y \(\left(3,5\right)\).
Solución:
Primero hallamos el vector cuya dirección en el plano \(xy\) es igual a la de la recta que pasa por los puntos \(\left(2,0\right)\) y \(\left(3,5\right)\), como se muestra a continuación.
vector u, paralelo a la recta que pasa por dos puntos

Ahora hallamos el vector \(\vec{v}\), que va del punto \(\left(2,0\right)\) al punto \(\left(1,2\right)\), como se muestra ahora:
vector v

Ahora calculamos la magnitud del vector \(\vec{u}\) y del producto vectorial de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), expresados ambos vectores en tres dimensiones.
Magnitud del vector u y del producto vectorial de u y v

Ya conociendo la magnitud de \(\vec{u}\) y del producto vectorial de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), la distancia la calculamos como se muestra a continuación.
Proceso de obtención de la distancia de un punto a una recta usando producto vectorial

3—Hallar todos los puntos cuyas distancia más cercana a la recta \(x+y+1=0\) se encuentran  a 2 unidades .
Solución:
Para dar solución a este problema utilizaremos la distancia dirigida de la recta a los puntos para los cuales solo hay dos posibilidades, que estén por debajo de la recta o por encima de la recta \(x+y+1=0\).
En el artículo [Producto vectorial y distancia de un punto a una recta], se demostró que:
Equivalente de la fórmula de la distancia de un punto a una recta en forma vectorial

Pero como queremos obtener los puntos por debajo como por arriba de la recta que se encuentren a 2 unidades, tomaremos la fórmula sin valor absoluto y tomando el valor positivo y negativo del denominador es decir \(\pm\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}\).
Para determinar la expresión que nos permita obtener una de las dos posibilidades tomamos primero el denominador de la fórmula positivo.
Obtención de los punto a 2 unidades de distancia por arriba de la recta

Ahora tomamos el denominador de la fórmula negativo y así obtener la otra posibilidad de los punto a 2 unidades de la recta.
Obtención de los punto a 2 unidades de distancia por abajo de la recta

Y todos los puntos cuya distancia más cercana de la recta \(x+y+1=0\)  es de 2 unidades se encuentran localizados sobre las rectas paralelas.
Ecuaciones sobre las cuales están todos los puntos a 2 unidades de la recta

Vea también

Producto vectorial.

Distancia de un punto a una recta usando producto vectorial.

miércoles, 8 de noviembre de 2017

Producto vectorial y distancia de un punto a una recta

En este post estaremos abordando un método diferente a los que hemos usado en este blog para el cálculo de la distancia de un punto a una recta, usaremos cálculo vectorial para este propósito, muy especialmente veremos como se puede usar el producto vectorial de dos vectores para obtener la distancia de un punto a una recta en el plano \(xy\), para esto iniciaremos haciendo algunas observaciones a la siguiente gráfica.
gráfico de la distancia de un punto a una recta

Colocamos la ecuación de la recta en la forma punto pendiente, para de esta forma determinar \(m\) y la ordenada \(b\).
Ecuación general de la recta colocada en la forma punto pendiente

Ahora encontraremos los valores de \(y\) en \(x=0\) y \(x=1\) de la recta colocada en la forma punto pendiente.
puntos de una recta colocada en la forma punto pendiente

Calculamos el vector \(\vec{u}\) desde el punto \(\left(0,b\right)\) hasta el punto \(\left(1,m+b\right)\).
vector u paralelo a la recta general de la recta

Pero también calculamos el vector \(\vec{v}\) que va desde el punto \(\left(0,b\right)\) hasta el punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\).
vector v paralelo a la recta general de la recta

Si dibujamos los vectores en el plano, el vector \(\vec{u}\) tiene la misma dirección que la recta \(l\) además dibujamos el vector \(\vec{v}\), y tomamos el punto \(\left(0,b\right)\) como el punto inicial de ambos vectores, los dos vectores forman un ángulo \(\beta\), observamos que la proyección horizontal y la componente ortogonal de \(\vec{v}\) respecto al vector \(\vec{u}\) son.
proyección del vector v en el vector u y componente de v perpendicular a u

Tal como muestra la siguiente gráfica.
Gráfica del vector u y v, y las componente de v respecto de u

Así que básicamente la componente ortogonal con magnitud \(\left|\left|\vec{v}\right|\right|\sin{\beta}\) es la distancia del punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\) a la recta \(Ax+By+C=0\), el valor de esta componente ortogonal la podemos obtener por medio de la magnitud del producto vectorial de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
magnitud del producto vectorial de los vectores u y v

Así despejando \(\left|\left|\vec{v}\right|\right|\sin{\beta}\) nos queda:
Valor de la componente ortogonal del vector v respecto de un vector u

Así que la distancia de un punto a una recta la podemos obtener vectorialmente como:
Definición vectorial de la distancia de un punto a una recta

Así que como ya conocemos los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), por lo que nuestro paso ahora es averiguar el producto vectorial de estos dos vectores y la magnitud del vector  \(\vec{u}\).
Proceso de obtención del producto vectorial de u y v

Ahora obtenemos el producto vectorial.
Proceso de obtención del producto vectorial de u y v

Así que la distancia de un punto a una recta en la forma \(y=mx+b\) es:
distancia de un punto a una recta con pendiente m y ordenada b

Ahora bien como:
valor de la pendiente de la ecuación general de la recta y de la ordenada

Entonces la distancia de un punto a una recta la podemos reescribir como:
Proceso de obtención de la distancia de un punto a una recta usando la ecuación general de la recta

Así que la distancia de un punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\) a una recta en la forma general \(Ax+By+C=0\) es:
distancia de un punto a una recta Ax+By+C=0

Vea también

Producto vectorial

Distancia de un punto a una recta

jueves, 2 de noviembre de 2017

Coordenadas cilíndricas en el espacio

En este post vamos hablar de lo que son las coordenadas cilíndricas, y de cómo podemos transformar las coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y viceversa, y además analizaremos como transformar una ecuación de superficie en coordenadas rectangulares a una ecuación expresada en  coordenadas cilíndricas.
Lo primero que debemos decir es que las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares de un plano al espacio tridimensional.
Así que básicamente un punto B representado en el espacio en coordenadas cilíndricas sería la terna \(\left(r, \theta,z\right)\)
En donde  \(\left(r, \theta \right)\) es la proyección de B en el plano xy, mientras \(z\) es la distancia dirigida de \(\left(r, \theta\right)\) del plano xy al punto B.
Punto en el espacio en coordenadas cilíndricas

La terna \(\left(r, \theta,z\right)\), expresada en coordenadas rectangulares es:
Expresando un punto en coordenadas cilíndricas en coordenadas rectangulares

Mientras que el proceso de convertir las coordenadas rectangulares a cilíndricas es.
Colocando un punto de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Donde \(n=0,1,2,3, \:.\:.\), así que básicamente las fórmulas anteriores se pueden utilizar para hacer las transformaciones de un sistema de coordenadas a otro.
Expresar el punto \(\left(1, 1,3\right)\) en coordenadas cilíndricas
Solución:
Para esto tomamos la expresión (2) y hacemos las sustituciones de lugar.
Ejemplo de colocar un punto de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Y como se puede observar existen dos posibilidades para expresar \(r\), mientras que para expresar \(\theta\) existen muchas posibilidades, por tanto, los dos puntos dados en coordenadas cilíndricas son ambos equivalente a \(\left(1, 1,3\right)\).
Equivalente de un punto en coordenadas cilíndricas en coordenadas rectangulares

Y un ejemplo opuesto sería hallar el equivalente en coordenadas rectangulares del punto en coordenadas cilíndricas \(\left(4, \frac{\pi}{3},1\right)\).
Solución:
Para este propósito usaremos la expresión (1) y haremos las sustituciones de lugar.
transformando un punto de coordenadas cilíndricas a rectangulares

Mientras que para fines de transformar una ecuación de coordenadas rectangulares a cilíndricas, debemos tener pendiente que:
Equivalente de la coordenada r en coordenadas rectangulares

Ya que.
coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares

Por ejemplo la ecuación de la superficie de una esfera expresada en coordenadas cilíndricas queda expresada como se muestra a continuación.
Ecuación de la superficie de una esfera expresándola en coordenadas cilíndricas

Así que la ecuación de superficie en coordenadas cilíndricas de una esfera con radio \(a\) es:
Ecuación de la superficie de una esfera en coordenadas cilíndricas

Como se puede observar las coordenadas cilíndricas son más factibles en ecuaciones de superficie que son simétrica respecto de algún eje de coordenada, como pueden ser la ecuaciones de la superficie de una esfera, de un cono, un paraboloide, un hiperboloide entre otra.
O mejor dicho en aquellas ecuaciones donde existen los términos \({x}^{2}+{y}^{2}\).
Por ejemplo el cono mostrado:
Superficie de un cono y su ecuación

Tiene como ecuación de coordenadas rectangulares \({x}^{2}+{z}^{2}={y}^{2}\), esta ecuación representada en coordenadas cilíndricas queda como muestran los siguientes cálculos.
Proceso de cambiar la ecuación de superficie de un cono de rectangular a cilíndrica

Así que la ecuación del cono de la gráfica expresado en coordenadas cilíndricas  es.
Ecuación de superficie de un cono en coordenadas cilíndricas

Pero no obstante a eso muchas veces necesitamos transformar ecuaciones de superficie, que se encuentran expresadas en coordenadas cilíndricas a rectangulares.
Por ejemplo la siguiente ecuación en coordenadas cilíndricas representa la superficie de un cilindro parabólico.
Gráfica de la superficie de un cilindro parabólico en coordenadas cilíndricas

Y expresada en coordenadas rectangulares toma la forma que presentan los siguientes cálculos.
Proceso de conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares de la ecuación de superficie de un cono en coordenadas cilíndricas

Para completar la variable \(y\) multiplicamos ambos lados por \(r\).
Proceso de conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares de la ecuación de superficie de un cono en coordenadas cilíndricas