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martes, 26 de septiembre de 2017

Solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

En este artículo vamos a continuar observando el método gauss-jordan aplicado a la solución de un sistema de ecuaciones con tres variables.
Así que vamos a entrar en materia, resolviendo el sistema siguiente:
sistema de ecuación en tres variables
Primero vamos a expresar este sistema en forma matricial:
sistema de ecuación en tres variables en forma matricial
Ahora identificamos las columnas en donde deberemos obtener una matriz unidad que son:
identificación de las columnas de la matriz unidad de tercer orden
Para continuar con la resolución de este sistema de ecuación, tomaremos como nuestra columna de trabajo la columna (1), y tomaremos 2 como nuestro coeficiente pivote, así que dividiremos todos los términos de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, para tener que:
paso 1 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora haremos que los coeficientes debajo del coeficiente 1, sean igual a cero, para esto primero multiplicaremos la fila superior donde se encontraba el coeficiente pivote,  por el negativo del coeficiente debajo de la primera fila, directamente debajo del coeficiente pivote que va a ser 3.
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la segunda fila es decir:
paso 2 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y ahora hallaremos el segundo cero en la columna (1) correspondiente a la última fila, para esto repetiremos de manera análoga el paso anterior, es decir vamos a multiplicar la  primera fila por el coeficiente negativo de la última fila que intercepta con la columna de trabajo osea la columna (1).
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora sumamos (1) a la última fila de nuestra matriz de datos:
paso 3 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Como se puede observar en la columna de trabajo (1), el coeficiente pivote se redujo a 1 y los coeficientes debajo de el se redujeron a cero, esto es lo que seguiremos haciendo en la segunda y tercera columna.
Recordemos que los coeficientes pivotes los escogeremos de acuerdo al orden en que se colocan los coeficientes 1, en una matriz unidad \(3x3\), es decir:
Matriz unidad de tercer orden
Así que ahora tomaremos la segunda columna como la columna de trabajo, y tomaremos como nuestro coeficiente pivote 7.5 que corresponde con el coeficiente 1 de la matriz unidad, y dividiremos cada elemento de la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 7.5, esto lo hacemos para obtener el 1 de la matriz unidad.
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ya obtuvimos un 1 en la columna de trabajo la columna 2, así que ahora vamos a reducir a cero los elementos por arriba y por debajo del coeficiente 1 donde se encontraba el coeficiente pivote, primero vamos a obtener el cero por arriba de 1, para esto multiplicaremos todos los términos de la segunda fila por el negativo de 1.5 es decir por -1.5 y luego cada uno de estos coeficientes se los sumaremos a la fila superior , como se muestra a continuación:
paso 4 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora vamos a obtener el cero que nos hace falta de nuestra columna de trabajo la columna 2, así  que multiplicaremos la segunda fila por el negativo de -8 que es –(-8)=8, y el resultado se los sumaremos a cada elemento de la última fila.
paso 5 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la tercera columna y guiándonos de la matriz unidad de tercer orden, el coeficiente pivote es 3.2, entonces dividimos cada elemento de la fila donde se encuentra el pivote entre 3.2, para de esta manera obtener el 1 que nos hace falta para completar nuestra matriz unidad.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Ahora reduciremos a cero los demás elementos de la tercera columna, así que vamos a multiplicar la última fila por el coeficiente negativo de 1.4, y luego el resultado se lo sumaremos a todos los elementos de la segunda fila, como se muestra a continuación.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y por último  vamos a obtener el cero que nos falta en la tercera columna, así que ahora multiplicaremos la última fila por el negativo de 0.4 es decir -0.4 y el resultado se lo sumaremos a cada elemento de la primera fila, y así obtener el cero que nos hace falta en esta fila.
paso 6 para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables con el método gauss-joran
Y como se ve hemos obtenido una matriz unidad de tercer orden, en las primeras tres columnas lo que nos dice que hemos llegado a la solución del sistema de ecuaciones de tres variables, la posición de cada 1 representa la variable que ocuparía esa posición en el sistema de ecuación, es decir el 1 en la primera fila y primera columna representa la variable \(x\), el 1 ubicado en la segunda fila y segunda columna representa la variable \(y\) y el 1 situado en la tercera fila y tercera columna representa la variable \(z\), y la cuarta y última columna representa la soluciones o lo que valen las variables \(x\), \(y\) y \(z\).
Entonces la solución de nuestro sistema de ecuaciones es:
solución del sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones.

Matriz inversa.

viernes, 15 de septiembre de 2017

Gauss-jordan y solución de un sistema de ecuación

Continuando con algo de álgebra de matrices, vamos en esta ocasión hablar de cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método gauss-jordan, antes de trabajar este método usando matrices, vamos a ver los pasos que contempla este método usando álgebra natural, por ejemplo vamos a considerar todos los pasos en la solución del siguiente sistema.
Sistema de ecuación en dos variables
Solución:
Escogemos nuestra columna de trabajo donde se encuentra la variable \(x\), dividimos la ecuación (1) entre el coeficiente 2 de la ecuación (1) que tomaremos como nuestro coeficiente pivote.
solución del sistema usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos  (1) por -4 y luego sumamos el miembro derecho de (1) a la ecuación (2) con el propósito de que la variable \(x\) en (2) tenga coeficiente cero.
solución del sistema utilizando gauss-jordan
Reescribiendo el sistema de ecuación original tenemos ahora:
Sistema de ecuación después de aplicar varios del método gauss-jorda
Como la columna que contiene las variable \(x\) , está normalizada al hecho de que el coeficiente en la ecuación (1) es uno y cero en la ecuación (2), eliminamos esta columna de futuras consideraciones, por lo que ahora tomamos la columna con variable \(y\) como nuestra columna de trabajo y tomaremos como nuestro coeficiente pivote -8, así que dividiremos cada término de la ecuación (2) entre -8.
solución usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos toda la ecuación (2)  por el negativo del coeficiente de (y) en la ecuación (1) es decir -1.5.
solución usando gauss-jordan
Ahora sumamos (2) a la ecuación (1) para de esta manera obtener los demás ceros de la columna de la variable \(y\).
solución usando gauss-jordan
Ahora el sistema se nos reduce a:

Y como se observa los coeficientes de las variables quedan contenido dentro de una matriz unidad que es irreducible.
matriz unidad de segundo orden
Por tanto \(x=1\) y \(y=3\).
Todos estos pasos anteriores son los que se dan con el método gauss-jordan, pasos que en la mayoría de los casos tienen una notación matricial.
A nivel matricial, para resolver el sistema anterior
sistema de ecuación en dos variables
Expresamos todos los coeficiente de las diferentes variables \(x\) e \(y\) y los coeficientes independientes \(11\) y \(-2\) como una matriz de dos filas y 3 columnas \(2x3\).
sistema de ecuación expresado en forma de una matriz
Tomamos la columna (1) como nuestra columna de trabajo, y tomamos 2 como nuestro coeficiente pivote, dividimos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, dándonos.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora multiplicamos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote por el negativo del primer coeficiente de la segunda fila osea \(-4\) y luego el resultado se lo sumamos a la segunda fila.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos (1) a (2).
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Como ya se completó la configuración que establece que en cada columna debe haber un coeficiente igual a uno y los demás deben ser cero con el objeto de obtener una matriz unidad en las \(m-1\) columnas es decir en \(3-1=2\) columnas, ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la segunda columna y nuestro punto pivote será -8, así que dividiremos todos los coeficientes de la segunda fila entre -8.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora buscaremos reducir a cero los demás elementos de la columna dos, para esto multiplicaremos la segunda fila por el negativo del coeficiente que está en la segunda fila dentro de la columna de trabajo, nos referimos a 1.5, pero lo tomamos negativos osea -1.5.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos cada elemento de (2) a cada elemento de la fila uno, dándonos:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Y como la matriz formada por las dos primeras columnas es irreductible ya que es una matriz unidad, sabemos que hemos llegado a la máxima simplificación, por tanto:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Así que \(x=1\) y \(y=3\) son las soluciones del sistema de ecuación.
Como este artículo se ha extendido un poco, vamos en un próximo artículo a ver la solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan.

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones

Matriz inversa

lunes, 21 de agosto de 2017

Matriz inversa y solución de un sistema de ecuaciones

En este artículo vamos a ver como aplicamos lo que es una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuación.
Como muchos de los lectores ya saben que un sistema de ecuaciones en dos variables se puede escribir como se muestra a continuación.
Sistema de ecuaciones en forma matricial
Si nombramos la matriz que contiene los coeficientes de las diferentes variables como \(A\), y los términos independientes los colocamos en la matriz \(B\), y si además las variables las colocamos en la matriz de variables \(X\), entonces la ecuación anterior la podemos expresar en forma matricial así:
Ecuación matricial
Si despejamos la matriz \(X\), entonces podemos observar que la matriz \(X\), viene dada como se muestra a continuación.
Solución de un sistema de ecuaciones usando matriz inversa
Así que la solución de un sistema de ecuación la podemos obtener multiplicando la matriz inversa de \(A\) por la matriz de coeficientes independientes \(B\).

Veamos algunas soluciones de sistemas de ecuaciones en dos y tres variables usando productos matriciales y la inversa de una matriz  como se muestra a continuación.
1- Solucionar el sistema:
Sistema de ecuación
Solución:
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A de un sistema de ecuación
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Vector de términos independientes de un sistema de ecuaciones
Tercero, expresamos la matriz de variables a resolver en término del producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes o matriz columna \(B\).
Matriz de solución de variables de un sistema en término de la matriz inversa y el vector de coeficientes
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\), si no sabe como obtener la inversa de una matriz clic en [Matriz inversa]:
Matriz inversa de la matriz de coeficientes de variables del sistema de ecuación
Quinto y último paso, resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz columna o vector \(B\) y obtenemos los valores de cada variable en la matriz \(X\).
Obtención de la matriz de variables solución X

2- Solucionar el sistema
Sistema de ecuaciones
Solución:
Como en la solución del ejemplo (1), en este también vamos a dar los mismos cinco pasos anteriores.
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\), que es:
matriz de coeficientes de variables del sistema
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz de términos independientes B
Tercero, colocamos la matriz de variables a resolver en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz de coeficientes \(B\), como se muestra a continuación:
Matriz de variables en término de la matriz inversa de A y la matriz B
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y por último solucionamos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz \(B\), y de esta manera determinamos los valores de la variables contenidas en la matriz \(X\).
Encontrando la solución de la matriz X

Y como último ejemplo de aplicación de una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones, vamos a resolver un sistema en tres variables.
3-Resolver el sistema
Sistema de ecuación 3
Solución:
Como en la soluciones anteriores, primero identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz columna o vector B
Tercero, colocamos la matriz solución de variables en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz o vector de coeficientes independientes \(B\).
Expresión de la matriz solución X, en función de la matriz inversa de A y el vector B
Cuarto, encontramos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y finalmente resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes \(B\), y de esta manera obtenemos los valores de las respectivas variables del sistema de ecuaciones dados.
Solución de la matriz de variables X

Como se puede observar, a partir de un sistema de ecuación de tres variables, este método de encontrar la matriz inversa de la matriz de coeficientes de las variables involucradas se vuelve complejo, por los muchos cálculos numéricos que habría que realizar, por lo que a partir de un sistema de cuatro variables, resulta más factible usar otros métodos de solución, como por ejemplo el método de reducción de matrices, usando gauss-jordan.

Vea también

Matriz inversa


Regla de cramer para resolver un sistema de ecuación.

Método de reducción suma y resta, y la solución de un sistema de ecuación.