Matemática - Matemática y Física

Busca el tema de tu interés

Mostrando las entradas con la etiqueta Matemática. Mostrar todas las entradas
Mostrando las entradas con la etiqueta Matemática. Mostrar todas las entradas

miércoles, 14 de febrero de 2018

Ecuación de una elipse

En este post estaremos viendo la forma de obtener la ecuación de una elipse, y para esto usaremos la definición del lugar geométrico de una elipse que básicamente reza así:
“Es el lugar geométrico de un punto  que se mueve de tal forma que su distancia a dos puntos focalizados en un mismo eje es siempre constante”
Para empezar nuestro análisis tomaremos estos dos puntos focales como \(A\left(-c,0\right)\) y \(B\left(c,0\right)\), estos dos puntos están a una misma distancia del origen de coordenadas \(O\left(0,0\right)\) es decir \(d=c\), y además tomamos un punto arbitrario \(P\left(x,y\right)\).
Imagen de una elipse
Entonces la suma de las distancias PA y PB, es siempre constante, y se ha demostrado que esta constante es igual a \(2a\) donde \(a\) es la distancia del origen O, a uno de los vértices más largos de la trayectoria del punto P, y definiendo \(b\) como la distancia más corta de un punto de la trayectoria al origen O, así que tomando todos estos datos en consideración podemos empezar a trabajar para obtener la ecuación de una elipse con estas características.
Definición geométrica de una elipse
Antes de continuar nuestro desarrollo de estos cálculos, vamos a establecer la relación existente entre la distancia \(c\), \(a\) y \(b\), si aplicamos el criterio para obtener máximos y mínimos de una curva, podemos demostrar que la ecuación (1) tiene dos puntos críticos,  un máximo y un mínimo, y que además estos dos puntos son la distancia más corta al origen O, por tanto esta distancia la podemos tomar como \(b\), sabemos por el criterio de los máximos y mínimos de una curva, que la expresión (1) tiene un máximo y un mínimo en \(x=0\), así que calcularemos el valor de \(y\) para \(x=0\).
Relación entre la distancia focal y los vértices de una elipse
Bueno ya sabiendo la relación existente entre \(a\),\(b\) y \(c\), podemos ahora simplificar la expresión (1), para esto primero pasaremos una de las expresiones radicales al miembro derecho y luego elevaremos ambos miembros de la igualdad al cuadrado para obtener.
Simplificación para obtener la ecuación de una elipse
Ahora elevamos ambos lados de la expresión (3) al cuadrado para eliminar la última expresión radical.
Simplificación de los radicales
Como \(b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}\), entonces \({b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}\), entonces la expresión (4) la podemos reescribir como a continuación.
compactando aún mas las expresiones
Dividiendo todos los términos de la expresión (5) entre \({a}^{2}{b}^{2}\), nos queda así.
cálculo final para obtener la ecuación de una elipse
Y la ecuación de una elipse con su centro en el punto (0,0) viene dada por:
Ecuación de una elipse con su centro en el origen (0,0)

miércoles, 7 de febrero de 2018

¿Puede un recipiente cilíndrico incrementar su volumen de agua, a pesar de tener una abertura en el fondo?

Si un recipiente o vasija que utilizamos para almacenar un líquido o un gas contiene una abertura, lo más lógico es que este se vacíe a un ritmo determinado, por lo que, por más pequeña que sea la abertura, tarde o temprano nuestro recipiente quedará vacío, si no tomamos las medidas de lugar.
Así que para evitar este irreversible proceso de vaciado, existen dos posibles soluciones.
1- Buscar la manera de reparar el recipiente eliminando la abertura.
2- Calcular el ritmo, o la velocidad a la que se pierde líquido o gas del recipiente, y entonces, agregar líquido o gas al recipiente o vasija a un ritmo mayor o igual que el ritmo al que se pierde volumen.
Bueno y como el título de este artículo así lo presenta, nosotros nos ocuparemos de analizar con un ejemplo práctico como aplicar la clausula 2, de manera que nosotros aunque no es la mejor opción optaremos por no arreglar la abertura, y entonces calcular la velocidad a la que deberemos agregar volumen a un recipiente cilíndrico, para incrementar su volumen y su altura respecto al recipiente, aunque este tenga un escape de volumen.
cilindro al que entra y sale volumen de agua a diferente velocidades
Si un recipiente cilíndrico de área basal de \(0.2{m}^{2} \) pierde por ejemplo agua a un ritmo de  \(0.05{m}^{3}/s\), y el recipiente en un principio está lleno hasta una altura de 0.5m ¿A qué ritmo debemos agregar agua al cilindro para ponerlo a una altura de 1m en un tiempo de 20s? ¿Cuánto tiempo necesitamos si el ritmo al que agregamos volumen es de \(0.07{m}^{3}/s\)?
Solución:
1- La respuesta es bien clara, sin nosotros hacer ningún cálculo aún así podemos intuitivamente decir que vamos a necesitar una rapidez de agregado de agua mayor que \(0.05{m}^{3}/s\), pero como se nos pide el  ritmo para aumentar la altura del agua a 1m en un tiempo de 20s, debemos decir que este ritmo no solo es mayor que \(0.05{m}^{3}/s\) , además puede ser calculado.
Si definimos \(\Delta v\) como la cantidad de volumen que hace falta para llegar a 1m, y \({v}_{e}\) como el volumen entrante, mientras, \({v}_{s}\) como el volumen saliente, entonces \(\Delta v\) se define como la diferencia del volumen entrante y el volumen saliente:
Diferencia de volumen entrante y saliente
Pero:
volúmenes entrantes y salientes
Así que ahora podemos reescribir la expresión para el cálculo del volumen faltante para completar 1m de altura como:
Expresión matemática que representa el volumen faltante
Si despejamos la variable meta \(dv/dt\), que es el ritmo al que debemos introducir agua en el recipiente cilíndrico, vamos a tener que:
fórmula que permite calcular el ritmo al que se entra volumen a un recipiente con abertura en el fondo
Así que como sabemos que \(t=20s\), necesitamos conocer la variable \(\Delta v\), que es igual también al volumen final menos el volumen inicial del recipiente cilíndrico, como se muestra a continuación.
Expresión alternativa para el volumen faltante
De donde \({h}_{f}\), representa la altura final de 1m, mientras \({h}_{i}\), la altura inicial de 0.5m, y el área basal del cilindro es \(0.2{m}^{2}\), así que \(\Delta v\) es.
Cálculo del volumen faltante
Ya teniendo \(t=20s\) y \(\Delta v=0.1{m}^{3}\) entonces \(dv/dt\) es:
Cálculo del ritmo de cambio que permite aumentar el volumen de un recipiente cilíndrico
2- En el caso de la pregunta dos, se nos da como datos que el ritmo de agregado de volumen es \(0.07{m}^{3}/s\), y como se trata del mismo cilindro la diferencia de volumen es \(\Delta v=0.1{m}^{3}\), así que el tiempo que se tarda en alcanzar la altura final de 1m desde una altura inicial de 0.5m, lo podemos obtener despejando el tiempo en la siguiente ecuación.
Tiempo que tarda en llenarse un cilindro con un ritmo de 0.07m^3/s

martes, 30 de enero de 2018

Paralelogramos exóticos

Al leer el título de este artículo uno rápidamente se da cuenta de que estamos hablando de un tipo de paralelogramo diferente de los que en matemática reconocemos como un paralelogramo, un paralelogramo normal es aquel que tiene dos de sus lados paralelos de dos en dos y además las líneas que forman sus lados son líneas rectas, como la siguiente figura.
paralelogramo normal
Los paralelogramos exóticos que les presentamos a continuación, primero cumplen con la característica de que sus lados no adyacente son paralelos, pero dos de las líneas que conforman dos de sus lados no son líneas rectas, y la otra característica que poseen es que su área se calcula de la misma manera que se calcula el área de un rectángulo o un paralelogramo,  esta característica es el por qué nombramos a este tipo de formas como paralelogramos exóticos, multiplicando la base por la altura o el largo por el ancho podemos obtener el área de un paralelogramo exótico, en el siguiente gráfico se muestran algunos paralelogramos exóticos.
paralelogramo exótico cuadrático
paralelogramo exótico senoidal
paralelogramo exótico logarítmico
paralelogramo exótico del seno hiperbólico
El paralelogramo exótico 1) sus curvas están compuestas por la familia de funciones de \(0.5{x}^{2}\), el 2) por la familia de \(\sin{x}\), el 3) por la familia de \(\log{x}\) y el paralelogramo 4) por la familia de funciones \(\sinh{x}\).
Dos de los lados de un paralelogramo exótico, pueden ser trazado usando dos funciones que sean familia, es decir que difieran en una constante, ejemplo la función \(h\left(x\right)=f\left(x\right)+d\) es familia de la función \(g\left(x\right)=f\left(x\right)+c\) ya que \({h}^{'}\left(x\right)={g}^{'}\left(x\right)\), donde su diferencia es \(c-d\), que es la distancia que separa ambas curvas.
Área de un paralelogramo exótico
Ahora vamos a demostrar usando algo de cálculo que el área de la zona \(S\) se puede calcular usando la fórmula que utilizamos para calcular el área de un rectángulo, \(S\) es el área comprendida en medio de las dos curvas \(h\left(x\right)\) y \(g\left(x\right)\) y delimitada por las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\).
Cálculo integral aplicado a la obtención del área de un paralelogramo exótico
Pero \(h\left(x\right)-g\left(x\right)=c-d\), así que.
Cálculo integral aplicado a la obtención del área de un paralelogramo exótico
Ahora, si tomamos \(c-d=H\) y \(b-a=B\), entonces el área \(S\), queda expresada así.
Fórmula para calcular el área de un paralelogramo exótico
Así que, si la distancia entre los lados paralelos curvos es \( H\) y la distancia entre los dos extremos de las curvas es \(B\), entonces el área de un paralelogramo exótico queda exactamente expresada con la misma fórmula que utilizamos para calcular el área de un paralelogramo normal es decir.
Fórmula para calcular el área de un paralelogramo exótico

Bueno y creo que es hora de ver algunos ejercicios resueltos aplicados a este tema.
Ejemplos:
1- Hallar el área del paralelogramo exótico cuya altura es 1.5cm y largo de 6cm.
área del paralelogramo exótico compuesto por un semicírculo
Solución:
Como \(H=1.5cm\) y \(B=10cm\), simplemente aplicaremos la fórmula.
Obteniendo el área del paralelogramo exótico compuesto por un semicírculo
2- Hallar el área del paralelogramo exótico conformado por dos lados curvos, formados por las funciones \(y=\tanh{x}\) y \(z=\tanh{x}+2\), donde la distancia de los extremos de estas curvas es de 10 unidades.
área del paralelogramo exótico compuesto por la tangente hiperbólica
Solución:
El ejercicio nos da \(B\) que es igual a 10 unidades, mientras que \(H\), la obtendremos restando a la función \(z\) la función \(y\), así que:
obteniendo el área del paralelogramo exótico compuesto por la tangente hiperbólica

Vea también

Área de un polígono regular e irregular usando la técnica de papel cuadriculado

martes, 5 de diciembre de 2017

Área de un polígono regular e irregular usando la técnica de papel cuadriculado

En este post presentaremos la técnica de área cuadriculada, cuando hablamos de área cuadriculadas nos referimos  a la determinación del área de un polígono regular o irregular dibujada en un papel cuadriculado.
Primero en base a los cálculos de área de la diferentes figuras mostradas en la siguiente gráfica, deduciremos de manera experimentar un modelo matemático que nos permita calcular el área de cualquier polígono dibujado sobre un papel cuadriculado independientemente de que este sea regular e irregular. 
cuadrado dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Empezaremos calculando el área de una única cuadricula que es igual a \(1{u}^{2}\), pudiendo ser esta unidad \(u\), un centímetro, un metro u otra unidad medida.
Y las área de las figuras 1, 2 y 3 se calcula como se muestra a continuación.
Área de de los tres cuadrados dibujados en papel cuadriculado

Ahora formaremos otra forma geométrica en el papel cuadriculado para corroborar que con cualquier forma dibujada en un papel cuadriculado se cumple el mismo proceso de cálculo en base a los puntos externos e internos de una figura geométrica.
Paralelogramo dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para el área de la figura 1 tomamos los puntos perimetrales externos igual a 4 y lo puntos internos a la línea perimetral la tomamos como igual a cero, teniendo presente que para que un punto sea contado externamente la línea perimetral externa debe cruzar por este y además dos línea perpendiculares de la cuadricula deben interceptarse en ese punto punto, mientras que para un punto ser interno debe simplemente la intercepción de dos líneas perpendiculares deben interceptarse internamente.  
área del pralelorgramo uno dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para la figura 2 observamos que los puntos externos son 8, mientras los internos son igual a uno, y el área entonces es
área del pralelorgramo dos dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Y para la figura 3 vemos que los puntos externos son 12 mientras los internos son 4, y área es como se muestra a continuación.
área del pralelorgramo tres dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

De todos los ejemplos anteriores, en los que hemos calculados el área de figuras geométricas en papel cuadriculado se cumple lo siguiente:
“El área de cualquier polígono regular e irregular dibujado en una cuadricula es igual a la mitad de los puntos perimetrales del polígono \(E\), sumado al total de los puntos interiores \(I\) de la cuadrícula menos uno.”
Fórmula que permite calcular el área de un polígono regular e irregular en función de ls puntos externos e internos de la cuadricula sobre la que se dibuja el polígono

Ya teniendo una relación matemática que nos permite calcular el área de cualquier polígono cuadriculado, vamos a resolver un último ejercicio.
Hallar el área de las siguientes figuras sabiendo que cada cuadrícula cuadrada mide de lado un centímetro.
Polígono irregular de diez lados dibujado sobre papel cuadriculado de un centímetro

Solución:
En esta figura podemos notar que la cantidad de puntos externos perimetrales del polígono es 16 mientras que los puntos internos son 25, así que el área de este polígono es como se calcula a continuación.
Proceso de cálculo del área del polígono de diez lados

Y como en nuestro caso tomamos una cuadricula de lado de un centímetro, entonces el área de superficie es de \(32{cm}^{2}\).

miércoles, 29 de noviembre de 2017

Forma estándar de un programa matemático

En este post estaremos dando algunas pinceladas acerca de cómo resolver problemas de optimización, basados principalmente en este artículo, en el importante asunto de poner en forma estándar, lo que en informática se conoce como un programa matemático o un programa lineal.
Básicamente un programa lineal queda expresado matemáticamente por una función a optimizar \(s=f\left({x}_{1},{x}_{2},\cdot\cdot\cdot,{x}_{n}\right)\) que debe pasar por un filtro de restricciones que quedan representada por la forma \({g}_{i}\left({x}_{1},{x}_{2},\cdot\cdot\cdot,{x}_{n}\right)\) y \(i=1,2,3,\:.\:.\:.,m\), que puede tomar tres posibles tipos de comparaciones menor o igual que \(\leq\), igual que \(=\) y mayor o igual que \(\geq\), una característica bien importante siempre a considerar es que los coeficientes independientes \({b}_{i}\) siempre son positivos, \({b}_{i}\geq 0\:\left(i=1,2,3,\:.\:.\:.,m\right)\).
Por ejemplo:
Programa matemático

Para estandarizar un programa matemático, lo que debemos de hacer es expresar todas las desigualdades o inecuaciones en igualdades o ecuaciones y establecer una solución factible inicial.
Un programa en forma estándar y expresado en forma matricial queda expresados así.
Programa matemático en forma estándar usando notación matricial

Poniendo en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad menor o igual que.

Para estandarizar una inecuación que contiene la desigualdad menor o igual que \(\leq\) sumamos una variable positiva, conocida como variable de holgura al lado izquierdo de la desigualdad, ejemplo si tenemos dentro de las restricciones de un programa lineal la restricción \(2{x}_{1}+3{x}_{2}\leq 2\), para estandarizar esta restricción sumamos la variable de holgura \({x}_{3}\) al miembro izquierdo de la inecuación es decir.
forma estándar de una restricción con signo menor o igual que

Entonces lo que la variable de holgura representa, es la diferencia de los lados derechos e izquierdo de la restricción, que puede perfectamente representar el desperdicio, ya que si \(2{x}_{1}+{x}_{2}\) es menor que \(2\) esto significa que 2 excede en una cantidad \({x}_{3}\) a la cantidad \(2{x}_{1}+{x}_{2}\).
Ejemplo de poner en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad \(\leq\).
Programa matemático en el que se minimiza la función objetivo

Solución:
Primero ponemos en forma estándar la primera restricción, para esto le sumamos la variable de holgura \({x}_{3}\) al lado izquierdo, también para poner de forma estándar la segunda restricción le sumamos al lado izquierdo la variable de holgura \({x}_{4}\), con lo que el programa queda estandarizado.
Proceso de estandarizar la función objetivo

Con esta forma estándar se consigue uno de los objetivos, que es obtener una solución factible inicial, si tratamos las variables de holguras como una solución inicial del programa matemático entonces estas las consideramos como variables básicas mientras que las demás variables entiéndase \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) como no básicas, y por tanto este programa tendría una solución inicial con \({x}_{3}=2, {x}_{4}=10\) y \({x}_{1}={x}_{2}=0\).
Esta forma estándar expresada en forma matricial es.
Forma estándar del programa matemático en forma matricial

Cuando se trata de poner en forma estándar un programa lineal que contiene la desigualdad mayor o igual que \(\geq\), sumamos una variable superflua al lado derecho de la restricción, representando la variable superflua la cantidad faltante del lado derecho para ser igual al lado izquierdo, luego de esto se traslada esta variable al lado izquierdo cambiándole el signo a negativo, por ejemplo.
Poniendo de forma estándar una restricción de mayor o igual que

Le sumamos al lado derecho de la igualdad la variable superflua \({x}_{4}\) y luego la trasladamos a la izquierda de la restricción como se muestra a continuación.
Proceso de estandarización de una restricción que contiene el signo de comparación mayor o igual que

Poniendo en forma estándar un programa matemático que contiene la desigualdad mayor o igual que.

Ahora bien aunque ya la restricción la hemos colocado como una ecuación aun así todavía no está estandarizada ya que una restricción implícita de un programa matemático es que ninguna de las variables puede ser negativa y si nosotros por ejemplo consideramos la variable \({x}_{4}\), como parte de una solución básica inicial entonces, dentro de esa solución inicial debemos tomar las demás variables igual a cero por lo que nos quedaría \(2\left(0\right)-3\left(0\right)+4\left(0\right)-{x}_{4}=3\) de donde entonces \(-{x}_{4}=3\), si despejamos \({x}_{4}\) su valor es negativo \({x}_{4}=-3\), lo que viola el hecho de que ninguna variable debe ser negativa.
De este análisis por tanto es que surge lo que se conoce como una variable artificial que al sumarla al lado izquierdo de la igualdad salva la restricción de que todas las variables en la solución inicial deben ser no negativas, así que la restricción queda formalmente estandarizada como.
Agregando una variable artificial después de agregar una variable superflua

De donde si consideramos ahora \({x}_{5}\) como parte de la solución inicial y la demás variables que no forman parte de la solución como igual a cero \({x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}={x}_{4}=0\) entonces la variable artificial toma el valor \({x}_{5}=3\).
Poner de forma estándar el programa siguiente.
Programa lineal matemático con maximización de función objetivo

Solución:
Para poner de forma estándar este programa lineal lo primero que haremos es agregar de manera directa en la tres restricciones las variables superfluas \({d}_{4},{d}_{5},{d}_{6}\) restándolas al lado izquierdo de la tres restricciones y la sumaremos a la función objetivo con coeficientes cero.
Agregando variables superfluas al programa matemático

Ahora para finalizar agregamos las tres variables artificiales \({d}_{7},{d}_{8},{d}_{9}\), con lo cual el programa queda expresado en forma estándar.
Agregando variables artificiales al programa matemático lineal

Y esta forma estándar expresada en forma matricial es.
Poniendo la forma estándar del programa matemático en forma matricial estándar

Como se puede observar en la estandarización del programa anterior, cuando a una restricción de igualdad en un programa para el cual obtendremos una maximización de la forma \(A{x}_{1}+B{x}_{2}=b\), añadimos una variable artificial al lado izquierdo de la igualdad \(A{x}_{1}+B{x}_{2}+{x}_{3}=b\), lo que matemáticamente altera la ecuación, por lo que esta variable \({x}_{3}\) es una mera formalización por que esto produce el costo penal de que en una posible solución óptima el valor de una variable como esta debe ser cero y por tanto si esta variable se toma como igual a cero entonces la alteración que se hace de la ecuación al inicio, al final no altera la restricción, así en contraposición esta variable se coloca en la función objetivo \(s\) con un coeficiente bien grande negativo en caso de maximización representado por la constante \(-M\), mientras que se coloca con un valor bien grande positivo en caso de minimización \(M\), este valor del coeficiente al final es irrelevante, ya que en un óptimo las variables artificiales son cero y por tanto no afectan la función objetivo \(s\).

Quizás te interese leer algunos de estos artículos.