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miércoles, 18 de abril de 2018

De geometría plana a óptica geométrica

Después de unos cuantos días, la distrofia muscular degenerativa que padezco, me da un nuevo break, así que aprovecho esta nueva oportunidad para escribir este artículo, así que sin más preámbulos empecemos...
En días pasados traíamos a este blog, el tema [punto de intercepción de una recta tangente a dos circunferencias y la recta que pasa por el centro de ambas circunferencias], en este artículo encontramos el punto de intercepción de una recta tangente a dos círculos con radios r1y r2, pero como allí se demostró en realidad al dos puntos que cumplen fielmente con estas condiciones.
puntos de intersepción de dos rectas tangentes a dos círculos y la recta que pasa por el centro de estos

Si tomamos r1=a, r2=b y r=k entonces;
puntos de intersepción de dos rectas tangentes a dos círculos y la recta que pasa por el centro de estos

La recta que pasa por c1 interseca el círculo con radio a en;
coordenada x donde la recta tangente a dos círculos interseca el circulo con radio a

Mientras la recta que pasa por c2 interseca el círculo con radio a en;
coordenada x donde la recta tangente a dos círculos interseca el circulo con radio a

Si a>b y k≠0, las rectas que pasan por c1 y por c2 intersecan el círculo con radio a en;
punto x donde dos rectas tangentes a dos círculos intersecan el círculo con radio a

Donde c2 representa el punto de intercepción exterior de la recta tangente a los dos círculos y la recta que pasa por sus centros, mientras c1 representa el punto de intercepción interior de la recta tangente a ambos círculos y la recta que pasa por sus centros.
Lo increíble de la distancia c1 y c2 es que cumplen una relación bien elegante que en óptica geométrica es la ley que existe para un rayo de luz que pasa por un punto R situado a una distancia c2 y se refleja en un espejo esférico cóncavo creando una imagen a una distancia c1.
Debemos decir que esta relación cumple con los criterios de tangencia en parte, siempre y cuando k≥a-b, siendo a>b.
demostración de que los puntos c1 y c2 cumplen con ecuación que se usa para relacionar la distancia de imagen y la de un objecto de un rayo de luz reflejado en un espejo concavo esférico con radio de curvatura k

demostración de que los puntos c1 y c2 cumplen con ecuación que se usa para relacionar la distancia de imagen y la de un objecto de un rayo de luz reflejado en un espejo concavo esférico con radio de curvatura k

Donde la relación (1) cobra un sentido de cumplimiento físico, es cuando a y b son extremadamente pequeños con relación a k, es decir cuando el ángulo respecto a la horizontal al que el rayo de luz que pasa por R se acerca a cero, por lo tanto la ecuación (1) representa la relación existente entre un objeto situado a una distancia c2 y una imagen reflejada de un espejo cóncavo esférico a una distancia c1, siendo f la distancia focal.
ecuación de imagen de un objeto y distancia de este respecto a un espejo esférico concavo con distancia focal f

Esto es así ya que como muestra la siguiente imagen en la medida en que los círculos de radios a y b son más pequeños en esa misma medida el rayo o la línea que pasa por R a una distancia c2 y toca de manera tangente estos círculos, se refleja en el círculo con radio k, siendo este rayo reflejado aproximadamente tangente al círculo con radio a e intercepta el eje central de los círculos a una distancia c1, que es a la distancia a la que ubicamos la recta vertical l1 en la siguiente gráfica.
imagen que ilustra como se comporta un rayo de luz incidente y reflejado en un espejo esférico concavo con radio k

Nota: El círculo de color púrpura (morado) tiene radio k, los círculos de color azul centrado en O tienen radio  a1,a2,a3,····,an, mientras los círculos de color rojo tienen radios b1,b2,b3,····,bn
Debemos hacer un aclarando, y es que cuando decimos tangente exterior nos referimos a que la recta es tangente a los círculos A y B, y cuya intercepción entre esta recta tangente y la recta que pasa por el centro de los círculos queda ubicada afuera de ambas circunferencias, mientras que cuando hablamos de tangente interior nos referimos a que el punto de intercepción de esta recta y la recta que pasa por el centro de ambos círculos se encuentra ubicado entre las circunferencias de los círculos.
De manera que si se disminuyen los radios de los círculos azules como rojos lo suficiente, es en este punto donde ya podemos decir que tanto el rayo de luz incidente, como el reflejado en un espejo cóncavo esférico son tangentes exterior e interiormente a los círculos con radios a y b como muestra la siguiente imagen, y la imagen de un objeto en R se refleja a una distancia c1 del vértice O del espejo cóncavo K.
Esta imagen demuestra visualmente el cumplimiento de la ecuación que relaciona c1, c2 y k
Rayo de luz de color rojo pasa por el punto R a una distancia c2, y interseca el círculo B y A de manera tangente a ambos círculos siempre que el ángulo al que incide el rayo rojo sea cercano a cero,  dando como resultado que el rayo se refleje en el espejo esférico concavo K y luego interseque el eje de los círculos A y B a una distancia c1 del vértice del espejo K siendo el rayo reflejado aproximadamente tangente al círculo A, y lo mismo sucede con el rayo de luz púrpura.  

jueves, 15 de marzo de 2018

Área de la región sombreada delimitada por la intercepción de dos círculos

En este post vamos a deducir una fórmula que nos permita conocer el área de la región que se encuentra dentro de dos círculos simultáneamente, que en la siguiente figura está sombreada de rojo.
Región sombreada de la intersepción de dos círculos

Si dividimos esta área en dos partes iguales trazando una línea vertical por los puntos de intersepción, nos podemos dar cuenta a simple vista que esta figura es simétrica respecto a esta línea vertical, pero si también trazamos otra línea horizontal, esta divide también la figura en dos partes iguales, en total estas líneas vertical e horizontal dividen la figura en cuatro partes iguales, lo que significa que solo deberemos obtener el área de una de esta 4 subdivisiones y la multiplicaremos por 4 para obtener el área total de la figura.
Región sombreada de la intersepción de dos círculos libre

Dicho todo lo anterior vamos a empezar a determinar un cuarto de la región sombreada de rojo, lo primero que vamos hacer es nombrar el ancho de la región sombreada como la longitud [k], por lo que la distancia del centro de un círculo al otro círculo es:
Distancia entre dos centros de dos círculos en función de k

Donde la distancia del centro de un círculo al punto medio, que queda ubicado exactamente a medio camino de la región sombreada es.
Ancho horizontal k de la región sombreada
Distancia media de los centros de dos círculos en función de k

El área de una cuarta parte de la región sombreada la podemos calcular guiándonos de la siguiente figura como se muestra a continuación.
Triángulo subtendido dentro de un círculo

El área de un cuarto de la región sombreada es igual al área de la parte del círculo subtendida por la mitad del ángulo central que forman dos segmentos de rectas que pasan por los puntos de intercepción y el centro, menos el área del triángulo formado por el centro del círculo, un punto de intercepción de los círculos y el punto medio de la distancias de los dos círculos.
Área de un cuarto del área de la región sombreada de la intersepción de dos círculos

Como Ac es una cuarta parte del área de la región sombreada entonces el área total A de la región sombreada es cuatro veces el área Ac, como se muestra a continuación.
Proceso de cálculo para la obtención del área total de la región delimitada por la intersepción de dos círculos

Entonces el área de la región sombreada en términos del ángulo es:
Fórmula que permite calcular el área delimitada por la intersepción de dos círculos

Ahora bien podemos colocar el ángulo en función del radio de un círculo y la distancia [k], ya que sabemos que la hipotenusa del triángulo mostrado en la siguiente figura es [r] y conocemos la longitud de uno de los catetos que es dmed, con esto podemos calcular el otro cateto y luego usar las identidades trigonométricas para relacionar el ángulo con estas medidas, todo este proceso se muestra a continuación.
Análisis gráfico del área entre dos circunferencia Proceso de cálculo para obtener el área de la región entre dos círculos en función de r y k
Proceso de cálculo para obtener el área de la región entre dos círculos en función de r y k

Y el área de la región sombreada en función de r y la distancia k es:


¿Cuál es el área de la región sombreada?
Gráfico que muestra el área de intersepción de dos círculos con radios r


Solución:
Como la circunferencia de un círculo pasa por el centro del otro y esto se cumple con ambos círculos, podemos tomar el ancho de la región sombreada como k=r, y luego utilizaremos la fórmula que involucra k para obtener el área de la región sombreada como la que muestra la imagen de este problema.
Área de la intersepción de dos círculos con radio r y con k=r

miércoles, 28 de febrero de 2018

Centro de gravedad de dos masas puntuales usando regla y compás

En este artículo vamos a mostrar un método geométrico que yo algunas veces prefiero usar, ya que no necesito usar mucho análisis físico para obtener el centro de gravedad de dos masas puntuales, ya que para este propósito solo necesito un compás y una regla de medida, debemos decir que este artículo surge como una consecuencia del artículo [Equilibrio y condiciones de equilibrio], en ese artículo decíamos que nos parecía bien curioso que el centro de masa se correspondía con el punto de intercepción de una  recta tangente a dos circunferencias y la recta que pasa por el centro de ambas circunferencias ya que ambas expresiones matemática son sencillamente semejante, esto sería así, si solo sustituíamos \({r}_{1}\) con \({m}_{2}\), y \({r}_{2}\) con \({m}_{1}\) y consideramos \(r\) como la suma de estas masas más la distancia de separación de las masas.
Por lo que como esto se cumple de una manera fiel, podemos usar el siguiente enunciado para obtener el centro de gravedad de dos masas sólo usando compás y regla, y un pequeño cálculo numérico adicional.
Si \({d}_{1}\) es una distancia dirigida desde el centro del círculo \({C}_{1}\) hacia el centro del círculo \({C}_{2}\), cuyo radio \({r}_{1}\) es igual a la magnitud de la masa \({m}_{2}\), y si \({d}_{2}\) es una distancia dirigida desde el centro de \({C}_{2}\) hacia el centro de \({C}_{1}\), donde \({r}_{2}\) es igual a la magnitud de la masa \({m}_{1}\) y \({m}_{1}>{m}_{2}\), y sean \({l}_{1}\) y \({l}_{2}\) dos rectas verticales que pasan exactamente a las distancia \({d}_{1}\) y \({d}_{2}\) por las respectivas circunferencias \({C}_{1}\) y \({C}_{2}\) interceptando ambas circunferencias, entonces el centro de masa de \({m}_{1}\) y \({m}_{2}\) está localizado en la intercepción de las rectas \({l’}_{1}\), \({l’}_{2}\) tangentes a \({C}_{1}\) y \({C}_{2}\) que pasan por las intercepciones de \({C}_{1}\) , \({l}_{1}\) y \({l}_{1}\), \({C}_{2}\), así que esta distancia la podemos medir con nuestra regla o con el sistema de medida que prefiramos, donde la magnitud de \({d}_{1}\) y \({d}_{2}\) es entonces:
Distancias dirigidas de los centros de los círculos con radios m1 y m2
Donde \(r\) es igual a \({m}_{1}+{m}_{2}+d\), con las masas como escalares y aparte \(r\geq {m}_{1}+{m}_{2}\), como muestra la siguiente gráfica.
Medición del centro de masa usando compás y regla
Nota: Si las masas son muy grande en magnitud, para hacer este dibujo tomamos una escala que se adapte a nuestra necesidad y al final multiplicamos la distancia del centro de gravedad por esta escala para tener la real distancia del centro de masa respecto de la masa puntual.

Para medir con compás y regla el centro de masa, debemos tener pendiente que debemos dibujar un círculo con radio \( {r}_{1}={m}_{2}\) sobre una masa \( {m}_{1}\) y un círculo con radio \( {r}_{2}={m}_{1}\) sobre una masa \( {m}_{2}\), teniendo presente que \({m}_{1}>{m}_{2}\) y que \(r\geq {m}_{1}+{m}_{2}\).
Luego dibujamos dos rectas verticales que pasan por \( {C}_{1}\), \( {C}_{2}\) a las distancias dirigidas:
Definición de las distancias dirigidas
Luego de graficar las dos verticales, dibujamos las rectas \( {l’}_{1}\) y \( {l’}_{2}\) que pasan por los puntos de intercepción de \( {l}_{1}\), \( {C}_{1}\) y  \( {l}_{1}\), \( {C}_{2}\).
De donde el centro de gravedad es la distancia medida desde la masa \( {m}_{1}\) al punto de intercepción de \( {l’}_{1}\) y el eje \( x\).
Dicho todo lo anterior debo decir que esta es una técnica personal, que yo utilizo para medir el centro de gravedad de dos masas puntuales, y para que los cálculos funcionen se deben seguir las recomendaciones anteriores.
1- Así que estamos listos para medir el centro de gravedad de las masas de 3 y 2 kilogramos respectivamente separadas 3cm, como muestra la gráfica.
Gráfico de dos masas m1 y m2 separadas una distancia [d]
Solución:
Primero dibujamos sobre el centro de masa de \({m}_{1}\), una circunferencia con radio \({r}_{1}={m}_{2}\), y sobre el centro de masa de \({m}_{2}\), trazamos una circunferencia con radio \({r}_{2}={m}_{1}\).
Lo segundo que haremos será, calcular las distancias dirigidas desde la que voy a dibujar las dos verticales y la distancia \(r\), para calcular el valor de \(r\), ignoramos la regla de sumar términos semejantes con términos semejantes y sumamos las masas como si estuvieran en centímetros con la misma unidad de medida de la distancia de separación de las masas.
Cálculo de las distancias dirigidas.
Con los datos anteriores podemos empezar a trazar las línea verticales, luego las líneas tangentes y después mediremos la distancia de \( {m}_{1}\) a el punto de intercepción de las rectas tangentes que es el centro de gravedad, todo se muestra a continuación.
Centro de gravedad es igual a la distancia medida del centro de masa de m1 a el punto de intercepción de las rectas tangentes
Y el centro de gravedad de \({m}_{1}\) y \({m}_{2}\), es la distancia medida desde el centro de masa de \({m}_{1}\) hasta el punto de intercepción de las rectas de color rojo, y esta distancia que yo medí con una regla es de 1.2cm.

viernes, 23 de febrero de 2018

Forma polar y rectangular del modelo elíptico usado para la trayectoria de un planeta en torno a su estrella madre

Bueno en el mundo de la ciencia, se conocen las famosas leyes formuladas por Johannes Kepler, una de estas leyes establece que: “Los planetas del sistema solar tienen una orbita elíptica con el Sol en uno de los focos”
silueta de un planeta en orbita elíptica alrededor del Sol
Así que, como la estrella o agujero negro alrededor de los cuales orbitan los planetas de un sistema planetario, tienen a su astro mayor en uno de los focos podemos empezar a deducir una expresión matemática que nos permita poner uno de los focos de la trayectoria elíptica en el origen \(F\left(0,0\right)\), y si ponemos uno de los focos en esta posición entonces el segundo punto focal estará localizado a una distancia \(d=2c\), por tanto este punto lo podemos fijar como \(F’\left(2c,0\right)\), por tanto el asunto se reduce a encontrar el lugar geométrico de un punto \(P\left(x,y\right)\)  que se mueve de manera tal, que la de suma la distancia de este a los dos puntos focales \(F\left(0,0\right)\) y \(F’\left(2c,0\right)\) es constante e igual \(2a\).
Esto matemáticamente lo podemos expresar así:
Definición geométrica de una elipse
Y las distancia PF y PF’ son:
Distancia PF y PF'
Así que la ecuación (1)  toma la forma:
Desarrollo de la ecuación de la elipse
Ahora vamos a obtener la expresión (2) en su forma polar, y buscaremos obtener la coordenada polar \(r\), en función de \(\theta\), usando las expresiones equivalentes para \(x\) e \(y\) en forma polar.
Obteniendo la forma polar de una elipse con foco en el origen (0,0)
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, y luego despejaremos el valor \(r\).
Elevación al cuadrado de ambos lados de la igualdad.
La expresión (4) la podemos compactar de una manera más elegante, tomando \(c/a\) igual a la constante \(e\), que es conocida como la excentricidad o grado de estrechez de una orbita, y además colocaremos \({b}^{2}/a\) en término de la excentricidad \(e\), como se muestra a continuación. 
Colocación de la expresión (4) en término de la excentricidad e.
Ahora bien podemos demostrar que \(a\left(1-e\right)\) es igual a la distancia más próxima entre el foco \(F\left(0,0\right)\) y uno de los vértices de la elipse \(a\), donde \(d\) es la distancia del perihelio en el caso del Sol y un planeta orbitador, en la trayectoria elíptica con uno de sus focos en el origen sabemos y se puede demostrar que \(d=a-c\), así que partiremos de esto para demostrar que \(d=a\left(1-e\right)\), como se muestra a continuación.
Demostración de que d=a-c
Ya sabiendo que \(d=a\left(1-e\right)\), procedemos a seguir simplificando la expresión (5).

Y por último tomaremos \(1+e\), igual a la constante \(w\).
igualamos w a [1+e]
Así que la ecuación (4) la podemos expresar así.
Ecuación de una elipse en términos de la excentricidad y la distancia más corta entre la estrella y el planeta
La expresión anterior es la ecuación que en el mundo de la ciencia se usa para modelar matemáticamente las trayectorias elípticas, circulares y parabólicas de los planetas alrededor del Sol.
Si \(e=0\) la ecuación se reduce a una circunferencia, si \(0< e < 1 \), la trayectoria es una elipse y si \( e=1\), la trayectoria es una parábola, y como una imagen vale más que mil palabra, observemos las trayectorias de una circunferencia, una elipse y una parábola en un mismo plano \(xy\).
Gráfico de una circunferencia, una elipse y una parábola en el plano xy.

Ahora nos remontaremos a la expresión (2), para empezar a trabajar para obtener la ecuación de esta elipse en su forma rectangular, como se muestra a continuación.
Expresión (2)
Pasaremos uno de los radicales al lado derecho y luego elevaremos ambos lados al cuadrado para así deshacernos de uno de las dos expresiones radicales.
Obtención de la forma rectangular de una elipse con uno de sus focos en el origen (0,0).
Pero \({b}^{2}={c}^{2}-{b}^{2}\).
Ecuación de una elipse en su forma rectangular en función de la excentricidad e, las constantes (a) y (b)
Pero también sabemos que \(e=\frac{c}{a}\) y que \(wd=\frac{{b}^{2}}{a}\), así que con estos datos podemos seguir simplificando la expresión (6).
Ecuación de una elipse en término de la excentricidad e, y la distancia más corta entre la estrella y el planeta
Elevamos ahora ambos miembros de la igualdad al cuadrado, y luego haremos una completación de cuadrado para arribar a la ecuación final.
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad y usamos el método de completación de cuadrados
Ahora vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad de la expresión (7) por \({\left(1-{e}^{2}\right)}^{2}\).
Multiplicación de cada miembro por (1-e^2)^2
Ahora dividimos todos los términos de la expresión (8) entre \({w}^{2}{d}^{2}\), para así obtener la forma canónica de la elipse usada para modelar la trayectoria de los planetas
División de ambos lados de la igualdad entre w^2d^2
En conclusión la forma rectangular de una elipse usada para modelar la trayectoria de un planeta alrededor de nuestro Sol, se escribe así:
Ecuación de una elipse con uno de sus focos en el punto (0,0), en términos de la excentricidad e,y la distancia mas corta entre la estrella y el planeta (d).
Y esta expresión la podemos compactar aun más como se muestra a continuación.
Compactando aun más la expresión anterior, para que solo esté en función de la excentricidad e, y la mitad del eje mayor de la elipse (a).
Así que la nueva expresión ahora es.
Ecuación de una elipse en término de la excentricidad e,, y la distancia (a).
Y la ecuación anterior se encuentra en el intervalo de excentricidad \(0\leq e < 1 \), lo que significa que la ecuación anterior cuando \(e=0 \) es una circunferencia, cuando \(0< e < 1 \) se reduce a una elipse, pero cuando \( e = 1 \), la ecuación anterior a diferencia de la ecuación anterior en su forma polar no muestra claramente que es una parábola, para que esto sea así debemos reducir la ecuación (9) a la siguiente expresión
Ecuación que se reduce a una parábola cuando e=1
No obstante a esto, podemos demostrar que la ecuación de una parábola no depende de \(a\), y que la ecuación (9), cuando \(a\to \infty \), tiende de una elipse a una parábola, por ejemplo sabemos que la excentricidad \(e\) es:
Definición de excentricidad
Si dividimos el numerador y el denominador entre \(a\), y aplicamos el límite cuando \(a\to \infty\), deberíamos obtener \(e=\pm 1\).
Dividimos el numerador y el denominador de la expresión para la excentricidad entre (a), y aplicamos límites cuando (a) tiende a infinito.
Lo anterior demuestra que una parábola no depende de \(a\), pero si no depende de \(a\) tampoco depende de la excentricidad \(e\) que es función de \(a\), y por tanto la distancia del perihelio en una parábola que no es más que la distancia focal no depende de \(a\) ni de \(e\), ya que para una parábola \(e\) es constante e igual a 1, así que podemos concluir que las tres cónicas del espacio son la circunferencia, la elipse y la parábola.