Potencia - Matemática y Física

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viernes, 24 de febrero de 2017

Potencia y trabajo

En este post hablaremos de las diferentes maneras de obtener el trabajo y la potencia desarrollada en un movimiento, en el que la fuerza es tangente a la trayectoria de una curva.
Si consideramos que una fuerza constante \(F\) es aplicada a una curva circular una distancia \(\Delta s\), entonces el trabajo \(\Delta w\) realizado por esta fuerza es.


El trabajo es considerado un escalar ya que observando la imagen del circulo podemos demostrar que \(\vec{F}\cdot \Delta \vec{s}\)
es igual a \(F\Delta s\), si el vector fuerza se descompone en dos componentes vertical \(F\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(F\cos{\theta}\vec{j}\) , si también descomponemos el vector desplazamiento en su vertical \(\Delta s\sin{\theta}\vec{i}\) y horizontal \(\Delta s\cos{\theta}\vec{j}\), realizando el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento tenemos.


Pero \(\Delta s= r\cdot \Delta \theta\), así que una pequeña cantidad de trabajo \(\Delta w\) es entonces igual a \(Fr\Delta \theta\), así que si dividimos ambos miembros de esta ecuación entre \(\Delta t\), obtendremos la potencia media.

Por lo que muestran las fórmulas se puede decir que la potencia media es igual al incremento de trabajo entre el incremento del tiempo.
Por lo que un trabajo diferencial que es realizado por una fuerza tangente a la trayectoria de una curva es entonces.

La potencia instantánea la obtenemos aplicando límites cuando \(\Delta t\) tiende a cero a ambos lados de la expresión que representa la potencia media.

Así que la potencia instantánea es igual a la tasa de cambio del trabajo respecto del tiempo, también la potencia instantánea se puede definir matemáticamente como la derivada del trabajo respecto del tiempo.
Ahora bien si despejamos \(dw\) de la potencia instantánea y aplicamos integrales a ambos lados, obtenemos el trabajo realizado por una fuerza tangente a una trayectoria curva en un intervalo de tiempo determinado.

Por lo que si la potencia es constante en un intervalo de tiempo \(\Delta t={t}_{2}-{t}_{1}\), entonces el trabajo realizado es.

Por lo que si tomamos \({t}_{2}=t\)\({t}_{1}=0\) entonces \(\Delta t=t\) y el trabajo es.

Ahora bien la potencia instantánea que desarrolla una fuerza tangente a un circulo con radio \(r\) es entonces igual.

Así que una fuerza tangente y constante aplicada a un objecto que se mueve con velocidad angular variable \({w}_{z}\) en una trayectoria circular de radio \(r\), produce una potencia igual a.

Pero observamos que \(F\cdot r\) es el momento de torsión \(\tau\), así que la potencia la podemos reescribir también como.

Dicho todo esto vamos a resolver algunos ejercicios relacionados con trabajo y potencia.

a)¿Cuánto trabajo medio realiza una persona que levanta verticalmente una masa de 20kg una distancia de 1.3m? b) Si tarda 5 segundos ¿Qué potencia media desarrolla en watt y hp?
Solución (a):
La persona levanta una masa de 20kg, para poderla levantar esta persona deberá aplicar una fuerza equivalente al peso, y el ejercicio nos da la distancia que es movida la masa 1.3m, por tanto con estos datos podemos calcular el trabajo medio realizado.

Ya conocemos el trabajo medio 254.8 Joules.
(b) Conociendo el trabajo medio, y el tiempo promedio en que se realiza este trabajo es de 5 segundo, con estos datos podemos calcular la potencia media en watts y hp.

Y la potencia media en watts y hp o caballos de fuerzas es de 50.96watts y 0.068hp respectivamente.

Si sabemos que un motor desarrolla una potencia media de 400 caballos de fuerzas(hp) que le otorga una velocidad angular media de 500RPM. ¿Que momento de torsión desarrolla?
Solución:
Lo primero que hacemos es convertir los caballos de fuerza a watts y las revoluciones por minutos(RPM) las convertimos en rad/s, y ya luego calculamos el momento de torsión.

Ya hicimos las respectivas conversiones, así que ahora nos avocamos a obtener el momento de torsión \(\tau\).

Y el momento de torsión es de 5683.8N·m

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