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lunes, 21 de agosto de 2017

Matriz inversa y solución de un sistema de ecuaciones

En este artículo vamos a ver como aplicamos lo que es una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuación.
Como muchos de los lectores ya saben que un sistema de ecuaciones en dos variables se puede escribir como se muestra a continuación.
Sistema de ecuaciones en forma matricial
Si nombramos la matriz que contiene los coeficientes de las diferentes variables como \(A\), y los términos independientes los colocamos en la matriz \(B\), y si además las variables las colocamos en la matriz de variables \(X\), entonces la ecuación anterior la podemos expresar en forma matricial así:
Ecuación matricial
Si despejamos la matriz \(X\), entonces podemos observar que la matriz \(X\), viene dada como se muestra a continuación.
Solución de un sistema de ecuaciones usando matriz inversa
Así que la solución de un sistema de ecuación la podemos obtener multiplicando la matriz inversa de \(A\) por la matriz de coeficientes independientes \(B\).

Veamos algunas soluciones de sistemas de ecuaciones en dos y tres variables usando productos matriciales y la inversa de una matriz  como se muestra a continuación.
1- Solucionar el sistema:
Sistema de ecuación
Solución:
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A de un sistema de ecuación
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Vector de términos independientes de un sistema de ecuaciones
Tercero, expresamos la matriz de variables a resolver en término del producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes o matriz columna \(B\).
Matriz de solución de variables de un sistema en término de la matriz inversa y el vector de coeficientes
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\), si no sabe como obtener la inversa de una matriz clic en [Matriz inversa]:
Matriz inversa de la matriz de coeficientes de variables del sistema de ecuación
Quinto y último paso, resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz columna o vector \(B\) y obtenemos los valores de cada variable en la matriz \(X\).
Obtención de la matriz de variables solución X

2- Solucionar el sistema
Sistema de ecuaciones
Solución:
Como en la solución del ejemplo (1), en este también vamos a dar los mismos cinco pasos anteriores.
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\), que es:
matriz de coeficientes de variables del sistema
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz de términos independientes B
Tercero, colocamos la matriz de variables a resolver en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz de coeficientes \(B\), como se muestra a continuación:
Matriz de variables en término de la matriz inversa de A y la matriz B
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y por último solucionamos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz \(B\), y de esta manera determinamos los valores de la variables contenidas en la matriz \(X\).
Encontrando la solución de la matriz X

Y como último ejemplo de aplicación de una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones, vamos a resolver un sistema en tres variables.
3-Resolver el sistema
Sistema de ecuación 3
Solución:
Como en la soluciones anteriores, primero identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz columna o vector B
Tercero, colocamos la matriz solución de variables en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz o vector de coeficientes independientes \(B\).
Expresión de la matriz solución X, en función de la matriz inversa de A y el vector B
Cuarto, encontramos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y finalmente resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes \(B\), y de esta manera obtenemos los valores de las respectivas variables del sistema de ecuaciones dados.
Solución de la matriz de variables X

Como se puede observar, a partir de un sistema de ecuación de tres variables, este método de encontrar la matriz inversa de la matriz de coeficientes de las variables involucradas se vuelve complejo, por los muchos cálculos numéricos que habría que realizar, por lo que a partir de un sistema de cuatro variables, resulta más factible usar otros métodos de solución, como por ejemplo el método de reducción de matrices, usando gauss-jordan.

Vea también

Matriz inversa


Regla de cramer para resolver un sistema de ecuación.

Método de reducción suma y resta, y la solución de un sistema de ecuación.