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jueves, 15 de marzo de 2018

Área de la región sombreada delimitada por la intercepción de dos círculos

En este post vamos a deducir una fórmula que nos permita conocer el área de la región que se encuentra dentro de dos círculos simultáneamente, que en la siguiente figura está sombreada de rojo.
Región sombreada de la intersepción de dos círculos

Si dividimos esta área en dos partes iguales trazando una línea vertical por los puntos de intersepción, nos podemos dar cuenta a simple vista que esta figura es simétrica respecto a esta línea vertical, pero si también trazamos otra línea horizontal, esta divide también la figura en dos partes iguales, en total estas líneas vertical e horizontal dividen la figura en cuatro partes iguales, lo que significa que solo deberemos obtener el área de una de esta 4 subdivisiones y la multiplicaremos por 4 para obtener el área total de la figura.
Región sombreada de la intersepción de dos círculos libre

Dicho todo lo anterior vamos a empezar a determinar un cuarto de la región sombreada de rojo, lo primero que vamos hacer es nombrar el ancho de la región sombreada como la longitud [k], por lo que la distancia del centro de un círculo al otro círculo es:
Distancia entre dos centros de dos círculos en función de k

Donde la distancia del centro de un círculo al punto medio, que queda ubicado exactamente a medio camino de la región sombreada es.
Ancho horizontal k de la región sombreada
Distancia media de los centros de dos círculos en función de k

El área de una cuarta parte de la región sombreada la podemos calcular guiándonos de la siguiente figura como se muestra a continuación.
Triángulo subtendido dentro de un círculo

El área de un cuarto de la región sombreada es igual al área de la parte del círculo subtendida por la mitad del ángulo central que forman dos segmentos de rectas que pasan por los puntos de intercepción y el centro, menos el área del triángulo formado por el centro del círculo, un punto de intercepción de los círculos y el punto medio de la distancias de los dos círculos.
Área de un cuarto del área de la región sombreada de la intersepción de dos círculos

Como Ac es una cuarta parte del área de la región sombreada entonces el área total A de la región sombreada es cuatro veces el área Ac, como se muestra a continuación.
Proceso de cálculo para la obtención del área total de la región delimitada por la intersepción de dos círculos

Entonces el área de la región sombreada en términos del ángulo es:
Fórmula que permite calcular el área delimitada por la intersepción de dos círculos

Ahora bien podemos colocar el ángulo en función del radio de un círculo y la distancia [k], ya que sabemos que la hipotenusa del triángulo mostrado en la siguiente figura es [r] y conocemos la longitud de uno de los catetos que es dmed, con esto podemos calcular el otro cateto y luego usar las identidades trigonométricas para relacionar el ángulo con estas medidas, todo este proceso se muestra a continuación.
Análisis gráfico del área entre dos circunferencia Proceso de cálculo para obtener el área de la región entre dos círculos en función de r y k
Proceso de cálculo para obtener el área de la región entre dos círculos en función de r y k

Y el área de la región sombreada en función de r y la distancia k es:


¿Cuál es el área de la región sombreada?
Gráfico que muestra el área de intersepción de dos círculos con radios r


Solución:
Como la circunferencia de un círculo pasa por el centro del otro y esto se cumple con ambos círculos, podemos tomar el ancho de la región sombreada como k=r, y luego utilizaremos la fórmula que involucra k para obtener el área de la región sombreada como la que muestra la imagen de este problema.
Área de la intersepción de dos círculos con radio r y con k=r

martes, 18 de abril de 2017

Ángulo externo a una circunferencia y problemas resueltos

En esta post vamos a continuar hablando de la aplicación del tema [Ángulo central, inscrito, interior y externo a una circunferencia], a la solución de problemas relacionados con este tema.
Este problema que analizaremos a continuación, a mi parecer es un ejemplo de lo que es el dibujo geométrico hecho con esplendidez, ya que el mismo dibujo nos inspira a llegar a su solución analítica.

1- El ángulo 1 es externo a un número infinito de circunferencias, ya que los rayos de este interceptan cada circunferencia exactamente en los mismos cuatros puntos, formando dos arcos que son iguales en cada circunferencia, si en cada circunferencia se forma un rombo y la distancia del vértice interior a una circunferencia del rombo a el centro de dicha circunferencia es directamente proporcional al radio de dicha circunferencia, ¿Hallar la medida enésima de los arcos menores y mayores de todas las circunferencias que siguen el mismo patrón de la siguiente figura?
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
El problema nos dice que la distancia de un punto interior del círculo que coincide con el vértice de un rombo \(d\) es directamente proporcional al radio \({r}_{n}\), así que se cumple que \(d=k{r}_{n}\) , siendo \(k\) la constante de proporcionalidad.
Lo primero que haremos es lanzar una línea auxiliar que vaya del vértice interior del rombo a el punto de intercesión de dos circunferencias consecutivas y uno de los rayos del ángulo 1, también colocamos el radio del circulo desde el centro hasta este punto de intercesión, el objetivo es hallar la distancia \(h\) mediante el teorema de pitágoras, y luego encontrar el ángulo \(\theta\) que representa la mitad de la medida del arco mayor del enésimo círculo en el patrón, así que la medida del arco mayor de cualquier círculo en el patrón debe ser igual al doble de este ángulo, todo estos cálculos se muestran a continuación.
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Así que la medida de un arco \(\widehat{CD}\) en una enésima circunferencia del patrón presentado en el problema es.
Medida-del-arco-CD
En donde \(k\) está dentro del intervalo \(0< k \leq 1\), así que la medida del arco \(\widehat{CD}\) está en el intervalo \(180< k \leq 0\).
Para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\), la encontraremos usando la fórmula que nos permite obtener el ángulo externo a una circunferencia, de donde despejaremos este arco como se muestra continuación.
Obtención-del-arco-AB
Y la medida del arco \(\widehat{AB}\) en una enésima circunferencia del patrón descrito en el problema es igual a:
Medida-del-arco-AB
Y bueno, sería interesante resolver un ejercicio con datos numéricos que nos permita observar como se aplican las fórmulas deducidas en este artículo.

2- Si un ángulo externo a un número infinito de circunferencias como muestra la figura 1 mide 47.96º, y sabemos que la constante de proporcionalidad entre la distancia \(d\) que va desde el vértice interior de un rombo dentro de una enésima circunferencia al centro de esta es 0.291. ¿Cuánto miden los arcos mayores y menores que forman los rayos del ángulo externo al interceptar cada circunferencia?.
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
Para solucionar este ejercicio lo primero que hacemos es organizar los datos que nos ofrecen, el ejercicio dice que la constante de proporcionalidad es 0.291, así que \(k=0.291\) y la medida del ángulo externo a todas las circunferencia en el patrón es igual 47.96º, con estos dos datos podemos determinar la medida del arco \(\widehat{AB}\) que representa todos los arcos menores de cada circunferencia y \(\widehat{CD}\) que representa todos los arcos mayores.

Solución-de-ejercicio-2
Y la medidas de los arcos menores y mayores son 50.24º y 146.16º respectivamente.

Vea también

Problema 1

Ángulo central, inscrito, interno y exterior a una circunferencia

martes, 7 de febrero de 2017

Medida de la circunferencia de la tierra según Eratóstenes

Bueno vamos a ver en este post como pudo el matemático griego Eratóstenes medir aproximadamente la longitud de la circunferencia de la tierra.
Decimos aproximadamente ya que en sus cálculos por ejemplo Eratóstenes asume que la tierra es perfectamente esférica, lo que hoy día sabemos que no es así.
Aunque para la época en que Eratótenes hizo estos cálculo, se puede pasar por alto cualquier posible error en las apreciaciones y mediciones del globo terráqueo.
Y dicho esto vamos a analizar los pasos básicos que dio Eratóstenes que le llevaron a la conclusión de que la circunferencia terrestre mide aproximadamente 250,000 estadios.
Longitud de un arco de un círculo
Si conocemos la longitud \(S\) de una circunferencia y conocemos el ángulo \(\beta\) que un arco \(\Delta s\) suscribe como muestra la figura, sabiendo que un giro completo de una circunferencia mide \({360}^{\circ}\), entonces \(\Delta s\) viene dado por la fórmula.
Longitud de un arco de un círculo
Resulta que mediante trabajos de campo Eratóstenes averiguó que la longitud \(\Delta s\) que representa la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, el se dio cuenta de que en una temporada del año los rayos solares impactaban perpendicularmente la superficie de la cuidad de Siena, así que en esa misma temporada el científico clavó una vara en la ciudad de Alejandría, dándose cuenta de que la vara proyectaba una sombra, Eratóstenes entonces midió con las herramientas de su época el ángulo respecto a la longitud de la vara a la que se proyectaba la sombra, y la pregunta es ¿Por que midió la longitud de este ángulo?
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Resulta que el ángulo \(\theta\) es el mismo ángulo al que se encuentra Siena de Alejandria, según sus suposiciones los rayos solares se transmiten paralelos entre si, pero perpendiculares a la superficie de la cuidad de Siena, así que si se considera la tierra perfectamente esférica, entonces podemos demostrar que el ángulo \(\beta\) que muestra la siguiente figura es igual al ángulo \(\theta\).
Rayos solares incidiendo en la superficie
El rayo A rojo forma un ángulo \(\theta\) con la vara en Alejandria y a su vez observamos que \(\theta\) es un ángulo del triángulo rectángulo \(\Delta AEO\),entonces hallando las relaciones para el ángulo \(z\) demostraremos que \(\theta=\beta\).
Demostración de que theta es igual a beta
Y sabiendo esto procedemos a despejar \(S\) de la relación dada al principio de este artículo que nos permite calcular una pequeña porción de longitud de una circunferencia \(\Delta s\).
Longitud completa de una circunferencia
Y según el artículo de wikipedia [Historia de Eratóstenes], Eratóstenes obtuvo \(\beta={7.2}^{\circ}\) como la separación angular entre Siena y Alejandria, y \(\Delta s=5000\)estadios como la distancia entre ambas, así que con estos datos podemos confirmar la medida que obtuvo Eratóstenes para la circunferencia terrestre que fue de \(S=250000\)estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes
Pero Erastóstenes según cuenta la historia rectificó el ángulo entre Siena y Alejandria en \(\beta={7.14}^{\circ}\), así que con este cambio la nueva longitud de la circunferencia que obtuvo fue de 252000 estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes

miércoles, 18 de enero de 2017

Punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las dos circunferencias

En este post traemos a este blog la resolución de un problema, en el trabajarán juntos el cálculo y la teoría de una línea recta en el plano [en especial la pendiente y la ecuación de la recta [y=mx+b].
Así que sin más preámbulos veamos el problema.
Hallar la distancia \(c\) respecto del centro de una circunferencia \({C}_{1}\) a la que una recta tangente a esta y a otra circunferencia \({C}_{2}\) intercepta la recta que une los centros de estas circunferencias como muestra la imagen.
Rectas tangentes a dos circunferencias que interceptan la recta que une los centros
Para mas simplicidad hemos tomado el centro de \({C}_{1}\) en el punto \(\left(0,0\right)\) y el centro de \({C}_{2}\) en el punto \(\left(r,0\right)\), y supondremos que la recta \(l\) intercepta la recta que une los dos centros de las circunferencias que en este caso especial es el eje x, por lo que si encontramos este punto de intersección el problema queda resuelto, ya que conoceríamos el valor de \(c\) que es la distancia respecto de la circunferencia \({C}_{1}\) a la que la recta tangente tanto a \({C}_{1}\) como a \({C}_{2}\) intercepta el la recta que pasa por los dos centros.
Solución:
Primero plateamos las ecuaciones que representan \({C}_{1}\)\({C}_{2}\) y despejamos \(y\), luego buscamos una ecuación para la pendiente en cualquier punto \(x\) de ambas circunferencias que se reduce simplemente a encontrar las derivadas de \(y\) respecto de \(x\).
Ecuaciones de las circunferencias
Como \(l\) es tangente a \({C}_{1}\) por arriba del eje \(x\) tomamos entonces la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 1 por arriba del eje x
Como \(l\) es tangente a \({C}_{2}\) por debajo del eje \(x\) tomamos la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 2 por debajo del eje x
Así que ahora obtenemos las derivadas de \({C}_{1}\)\({C}_{2}\).
Derivadas de ecuaciones de circunferencias
Ahora hallamos las dos formas posibles que puede tener la ecuación de la recta \(l\), dado que tenemos dos ecuaciones generales de pendientes pero un solo punto por donde la recta \(l\) debe pasar \(\left(c,0\right)\).
Ecuación de la recta l
Ahora encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{1}\).
Punto de tangencia de circunferencia 1

Ahora también encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{2}\).
Punto de tangencia de circunferencia 2
Punto de tangencia de circunferencia 2
Ahora calculamos la pendiente de la recta \(l\) tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{1}\)\({p}_{1}\).
Pendiente de recta l
Ahora encontramos la pendiente para \(l\), tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{2}\)\({p}_{2}\).
Pendiente de recta l
Por último como \({m}_{1}\)\({m}_{2}\) representan la misma pendiente de la recta \(l\), igualamos \({m}_{1}={m}_{2}\) para hallar el valor de \(c\) que es lo que nos interesa.
Valor de c
Valor de c
Resolvemos la ecuación cuadrática para hallar \(c\).
Valor de c

Y tomando \(c\) como el valor positivo \({c}_{1}\), tenemos que la distancia respecto a la circunferencia \({C}_{1}\), a la que la recta \(l\) intercepta la recta que pasa por los centros de dos circunferencias con radios \({r}_{1}\)\({r}_{2}\) y cuyos centros están separados una distancia \(r\) es.
Valor de c

Vea también

Ecuación de la recta

Reglas básicas de derivadas

Depeje de una variable