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miércoles, 20 de enero de 2016

Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme

El momento de inercia es un tema que cobra mucha importancia en física cuando se trata de analizar el movimiento de cuerpos rígidos que se mueven alrededor de un eje imaginario que atraviesa el objecto o cuerpo por alguna parte y que también este eje puede estar externo al cuerpo en cuestión.
El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje dado está definido así:

Por lo que en este post vamos a estar analizando el caso especial del momento de inercia de una varilla delgada con una densidad lineal uniforme tal como se muestra a continuación.

Como vamos a trabajar con la densidad lineal del objecto en este caso la varilla es importante establecer que la densidad lineal va a ser igual a:

Lo primero que haremos para obtener el momento de inercia de una varilla delgada o barra compacta es  igualar las dos expresiones que representan la densidad de la varilla, para despejar dm .

Estos datos los vamos a sustituir en la expresión de la integral que nos permite hallar el momento de inercia, pero antes debemos sustituir r por x e igualar r=x ya que x representa una distancia arbitraria a la que deseamos conocer el momento de inercia de una varilla delgada, vamos a definir  nuestro intervalo de integración desde -s hasta (L-s) donde L-s es la posición a la que se encontrará el eje respecto al origen P, y este puede representar un valor que va desde 0 hasta L, ahora procederemos a simplificar la integración para hallar el momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme o constante  respecto a un eje ubicado a una distancia L-s respecto al punto de origen P.


Y de la simplificación anterior se puede observar que el momento de inercia cuando el eje se encuentra en x = s es :

Cuándo s = 0 , L-s = L y el momento de inercia cuando s = 0 osea cuando el eje de rotación está en un extremo de la varilla delgada es.

Y como se puede ver el momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje de rotación que pasa por un extremo es.

El momento de inercia en la posición s=L/2 , r=x=L-s=L-L/2=L/2,
es decir el momento de inercia de una varilla delgada es.

De la simplificación anterior se puede decir que el momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje de rotación ubicado a la mitad de la varilla es.


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