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lunes, 1 de febrero de 2016

Inercia de una placa rectangular delgada alrededor de un eje que pasa perpendicular al área de la placa por su centro

En este artículo vamos a ver como obtener el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje que es perpendicular al plano de la placa rectangular, pero para este proposito de encontrar el momento de inercia nos auxiliaremos de la definición de inercia extendida hasta integrales dobles tal como se muestra a continuación.

Para empezar nuestro trabajo de obtener el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje de rotación que pasa por el punto O y es perpendicular al plano de la placa rectangular, nos guiaremos de una gráfica que muestre los distintos elementos que componen la placa rectangular como son el diferencial de área dA=dydx, el área total del rectángulo A=ab, la masa diferencial dm y la masa total M.

De los elementos dados en esta gráfica vamos a relacionar la densidad de un pequeño diferencial de masa dm, con la densidad de la masa total M, luego vamos a proceder a despejar dm y a sustituirla en la expresión para la integral doble que nos permitirá hallar el momento de inercia de una placa rectangular con respecto a un eje que pasa por el punto O que se encuentra en el centro del rectángulo y es perpendicular al plano donde se encuentra el rectángulo.

Después de despejar dm lo único que nos queda es sustituir este valor en la integral doble, que integraremos en el intervalo (x) desde 
-b/2 hasta b/2, y en el intervalo (y) desde -a/2 hasta a/2, luego vamos a proceder a integrar por parte cada una de la variables xy que componen la integral doble, advertimos que el proceso de integración es el mismo que si se hiciera con una sola variable, la única diferencia es que integraremos ambas variables una después de la otra.

 
Y como se puede observar el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje que atraviesa perpendicularmente una placa rectangular por su centro O es.

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