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viernes, 29 de abril de 2016

Desafío de matemática 1

Un ingeniero cuenta con recursos limitados para un proyecto, se le presenta el problema de que se necesita comprar una distancia de un tubo que vaya del punto A al punto B cuya distancia es de10m pasando por un punto C, siguiendo la trayectoria como se ve en la figura. Si el tubo que el ingeniero va a utilizar del punto A al punto C cuesta 200$/m, y el tubo que va a utilizar del punto C al punto B cuesta 100$/m ¿Qué valor de x le permitirá al ingeniero ahorrar dinero ?

Partiendo de la figura lo primero que debemos es encontrar una relación matemática para d1 y d2 ,y los costos c1 y c2 donde c1=200·d1 y c2=100·d2 luego como este es un problema de optimización vamos a encontrar el valor de x que minimiza el costo de la colocación del tubo desde el punto A al punto B siguiendo la trayectoria ACB o BCA dadas las condiciones del problema, para esto vamos a igualar a cero la primera derivada de la suma de los dos costos c1 y c2, luego vamos a resolver la ecuación que se genera para encontrar el valor de x.
1--Como se puede ver en la figura de más arriba la distancia horizontal del punto A al punto B que llamaremos [d] usando el teorema de pitágora es.

2-- Se puede observar partiendo de la figura que d2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 6-x metros, por lo que usando el teorema de pitágora obtenemos d2.

Y el coste de este tubo que es igual al costo por metros (100$/m) multiplicado por la distancia del tubo que va de C a B es

3-- También se puede ver en la figura al principio de este artículo que d1 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y x metros

Y el costo de este tubo que es igual al costo de tubo por metro (200$/m) multiplicado por la distancia del tubo que va del punto A al C es

4-- Si tomamos a [c] como el costo total de tubo que va de A a B pasando por C, entonces el costo total de tubo viene dada por la relación.

5-- Ya conocemos el costo total del tubo en función de x que puede necesitar el ingeniero, ahora vamos a obtener la primera derivada de esta relación, luego la igualaremos a cero.

6-- Por último después de igualar a cero la primera derivada del costo total [c], procedemos a despejar el valor de x que le permitirá al ingeniero saber la posición del punto C que le permitirá ahorrar dinero. 

Y resolviendo la ecuación de cuarto grado
3x4-36x3+88x2+432x-1296=0 por algún método de aproximación tomamos el valor de x igual a 2.8069 ya que las otras soluciones son imaginarias o son negativa.
Por tanto el valor de x que minimiza los costos es x=2.8069m.
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