Busca el tema de tu interés

viernes, 3 de junio de 2016

Simplificación de expresiones que contienen potencias

En este post vamos a analizar aquellas expresiones que matemáticas que contienen potencia, ofreciendo algunos ejemplos de como simplificar una expresión algebraica o numérica que contiene todo o algunos de sus términos sometidos bajo una operación de potencia, debemos decir que aún las raíces de un número o una expresión algebraica son potencias cuyos exponentes son fraccionarios, un ejemplo de ello es \(\sqrt{x}\) que puede ser expresado como \({x}^{\frac{1}{2}}\).
Es  muy útil saber que una raíz se puede expresar como una potencia, ya que si necesitáramos calcular la raíz enésima de un numero \(x\) pero la tecla del aparato que vamos a utilizar tiene esta tecla dañada o simplemente no tiene esta tecla pero si tiene la tecla de elevar a una potencia dada, pues \(\sqrt{2}\) es lo mismo que elevar \(2\) a la \(\frac{1}{2}\) o a la \(0.5\) es decir \(\sqrt{2}={2}^{0.5}\), bueno dicho todo esto vamos sin ningún preámbulo a ver como simplificar expresiones matemáticas con potencias.
Simplificar las siguientes expresiones con potencias.
\(\begin{align*}&1)\:\:\frac{{2}^{4}}{2}= \\  &2)\:\:{\left(-1\right)}^{3}= \\ &3)\:\:{\left(2\right)}^{-2}= \\ &4)\:\:\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}= \\ &5)\:\:{\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}= \\ &6)\:\:{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}= \\ &7)\:\:\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}= \\ &8)\:\:\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\cdot\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)= \\ &9)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\:\: \textrm{si n es par} \\ &10)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\:\:  \textrm{si n es impar} \\ &11)\:\:\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)= \\ &12)\:\:{\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}= \\ &13)\:\:{\left(w-v\right)}^{2}= \\ &14)\:\:{\left(w+v\right)}^{2}= \\ &15)\:\:\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\end{align*}\)
Ejemplo 1
\(\begin{align*}&1)\:\:\frac{{2}^{4}}{2}=\end{align*}\)
Para solucionar este ejercicio aprovecharemos el hecho de que la división de dos potencias con igual base y iguales o diferentes exponentes es igual a la base elevada al exponente que va a ser igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador es decir si \(a\) es la base y \(m\) y \(n\) los exponentes del numerador y denominador respectivamente entonces se cumple que : \(\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}\).
\(a=2\:\:\:m=4\:\:\:n=1\)
\(\frac{{2}^{4}}{2}={2}^{4-1}\)
\({2}^{4-1}={2}^{3}\)
\({2}^{3}=8\)
Ejemplo 2
\(2)\:\:{\left(-1\right)}^{3}=\)
Este ejercicio lo podemos resolver aplicando la regla que establece que todo número negativo que es elevado a una potencia impar igual al negativo del número elevado a dicha potencia es decir si \(-a\) es la base de una potencia cuyo exponente es \(n\) entonces se cumple que \(\left({-a}\right)^{n}=-{a}^{n}\)
\(a=-1\:\:\:n=3\)
\({\left(-1\right)}^{3}=-{1}^{3}\)
\(-{1}^{3}=-1\)
Aunque este ejercicio lo hubiésemos podido resolver usando la forma tradicional, multiplicando el \(-1\) tres veces.
\({\left(-1\right)}^{3}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
Ejemplo 3
\(\begin{align*}&3)\:\:{\left(2\right)}^{-2}\end{align*}\)
Este ejercicio lo vamos a resolver simplemente aplicando el principio matemático que establece que si una base está elevada a un exponente negativo, para transformar este exponente en positivo lo colocamos en el denominador de una fracción si este se encuentra en el numerador y viceversas si este se encuentra en el denominador es decir \(\left(a\right)^{-m}=\frac{1}{{a}^{m}}\) ó \(\frac{1}{{a}^{-m}}={a}^{m}\) por lo que:
\(a=2\:\:\:m=2\)
\(\begin{align*}&{\left(2\right)}^{-2}=\frac{1}{{2}^{2}} \\ &\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}\end{align*}\)
Ejemplo 4
\(\begin{align*}&4)\:\:\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}\end{align*}\)
Al igual que en el ejercicio 3, para resolver este ejercicio copiamos la base y restamos los exponentes.
\(\begin{align*}&\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}} \\ &\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}={2}^{1-\frac{1}{2}} \\ &{2}^{1-\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{2}} \\ &\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}={2}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\end{align*}\)
Ejemplo 5
\(5)\:\:{\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}=\)
Para solucionar este ejercicio vamos a aplicar la regla que establece que una potencia de una potencia es igual a la base de la potencia con los exponentes multiplicados es decir \({\left({\left(a\right)}^{m}\right)}^{n}={a}^{m\cdot n}\), aplicaremos este mismo concepto para simplificar el ejercicio 5.
\({\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\)
\({\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}={3}^{2\cdot2\cdot2\cdot2}\)
\({3}^{2\cdot2\cdot2\cdot2}={3}^{16}\)
\({3}^{16}=43046721\)
Ejemplo 6
\(6)\:\:{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}=\)
Vamos a simplificar esta expresión utilizando la regla que establece que el producto de dos potencias con misma bases y con igual o diferentes exponentes es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
Sea \(z\) la base de dos potencias con exponentes \(a\) y \(b\), entonces se cumple que \({z}^{a}\cdot{z}^{b}={z}^{a+b}\), aplicando esta misma regla a la simplificación del ejemplo 6 vamos a tener que :
\(\begin{align*}&{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n} \\ &{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}={x}^{\left(m+n\right)+\left(m-n\right)} \\ &{x}^{\left(m+n\right)+\left(m-n\right)}={x}^{2m} \\ &{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}={x}^{2m}\end{align*}\)
Ejemplo 7
\(\begin{align*}&7)\:\:\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}=\end{align*}\)
Para simplificar esta expresión lo primero que haremos es factorizar el numerador y como se puede observar el numerador es la diferencia de cubos de dos cantidades , factorizando \({a}^{3}-{b}^{3}\) vamos a tener que :
\(\begin{align*}&{a}^{3}-{b}^{3}=\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right) \end{align*}\)
Ya habiendo factorizado el numerador procedemos a simplificar.
\(\begin{align*}&\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}= \\ &\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right)}{a-b} \\ &\frac{\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right)}{a-b}={a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2} \\ & \end{align*}\)
Ejemplo 8
\(8)\:\:\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\cdot\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)\)
El ejemplo 8 es un modelo de lo que es un producto notable conocido como el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades que es igual a la diferencia de cuadrados de ambas cantidades, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces se cumple que \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)={a}^{2}-{b}^{2}\), usando este principio aplicado al ejemplo 8 vamos a tener que :
 \(a={m}^{3}\:\:\:b={n}^{3}\)
\(\left(a-b\right)\left(a+b\right)={a}^{2}-{b}^{2}\)
\({a}^{2}-{b}^{2}={\left({m}^{3}\right)}^{2}-{\left({n}^{3}\right)}^{2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={\left({m}^{3}\right)}^{2}-{\left({n}^{3}\right)}^{2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={m}^{3\cdot2}-{n}^{3\cdot2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={m}^{6}-{n}^{6}\)
Ejemplo 9
\(9)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\)    si \(n\) es par
Este ejercicio lo podemos simplificar manualmente es decir imaginemos que \(n\) es igual a el número par 2, entonces
\({\left({-1}\right)}^{n}\)
\(n=2\)
\({-1}^{2}=\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)=1\)
Ahora probamos con \(n=4\)
\({\left({-1}\right)}^{n}\)
\(n=4\)
\({\left(-1\right)}^{4}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(1\right)\)
\(\left(1\right)\left(1\right)=1\)
Y como se puede observar que \({\left(-1\right)}^{n}=1\) para cualquier número n que sea par
Ejemplo 10
\(10)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\)    si \(n\) es impar
Al igual que la simplificación anterior vamos mediante el análisis manual a obtener la simplificación del ejemplo 10, así que probaremos los resultados para algunos valores impares de  \(n\), por ejemplo si \(n=3\) entonces.
\({\left(-1\right)}^{n}\)
\(n=3\)
\({\left(-1\right)}^{3}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
\({\left(-1\right)}^{3}=-1\)
Ahora si tomamos otro número impar \(n=5\) vamos a tener que :
\({\left(-1\right)}^{n}\)
\(n=5\)
\({\left(-1\right)}^{5}\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)\)
\({\left(-1\right)}^{5}=\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
Y si continuamos con este proceso nos daremos cuenta que \({\left(-1\right)}^{n}=-1\) para cualquier valor de \(n\) que sea impar.
Ejemplo 11
\(11)\:\:\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)=\)
Para hacer esta simplificación usaremos la regla que establece que \({x}^{a}\cdot{x}^{b}={x}^{a+b}\), por tanto :
\({x}^{a}\cdot{x}^{b}={x}^{a+b}\)
\(x=3\:\:\:a=b=2\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)={3}^{2+ 2}\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)={3}^{4}\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)=81\)
Ejemplo 12
\(12)\:\:{\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}=\)
Como se puede ver este ejemplo no es más que la potencia de un producto, por lo que aprovecharemos la propiedad que establece que la potencia es distributiva con respecto a la multiplicación es decir \({\left({a\cdot b}\right)}^{n}={a}^{n}\cdot{b}^{n}\), aplicando esta propiedad al ejemplo 12 vamos a tener que :
\({\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}={2}^{2}x{\left({10}^{-2}\right)}^2\)
\(4x{10}^{-2\cdot 2}=4x{10}^{-4}\)
\({\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}=4x{10}^{-4}\)
Ejemplo 13
\(13)\:\:{\left(w-v\right)}^{2}=\)
La solución de este ejercicio es bastante fácil ya que se trata del cuadrado de la diferencia de dos cantidades que es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.
Aplicando esta teoría a la simplificación del ejemplo 13 vamos tener que \(w\) es la primera cantidad y \(v\) la segunda por lo que vamos a tener que :
\({\left(w-v\right)}^{2}={w}^{2}-2w\cdot v+{v}^{2}\)
Ejemplo 14
\(14)\:\:{\left(w+v\right)}^{2}=\)
Este ejemplo corresponde al cuadrado de la suma de dos cantidades que va a ser igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad, si tenemos que \(w\) es la primera cantidad y \(v\) la segunda cantidad entonces la simplificación de ejemplo 14 aplicando esta teoría es.
\({\left(w+v\right)}^{2}={w}^{2}+2w\cdot v+{v}^{2}\)
Ejemplo 15
\(\begin{align*}&15)\:\:\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\end{align*}\)
Primero observamos que \(m\) aparece tanto en el numerador como el denominador del cociente indicado del ejemplo 15 y lo mismo pasa con \(n\), por lo que tanto para \(m\) como para \(n\) aplicaremos la regla que establece \(\frac{{z}^{a}}{{z}^{b}}={z}^{a-b}\).
\(\begin{align*}&\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}= \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}={m}^{2-4}{n}^{3-4} \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}={m}^{-2}{n}^{-1}\end{align*}\)
Ahora eliminamos los exponentes negativos transponiendo el numerador en el denominador.
\(\begin{align*}&\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\frac{1}{{m}^{2}{n}^{1}} \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\frac{1}{{m}^{2}n}\end{align*}\)
Vea también
Cocientes notables
Productos notables
Propiedades y operaciones en los conjuntos numéricos
Simplificación de expresiones radicales