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miércoles, 28 de junio de 2017

Inercia de una placa cuadrada delgada la cual gira en torno a un eje que pasa por uno de sus vértices, perpendicular al plano de la placa

En este post estaremos hablando de como averiguar el momento de inercia de una placa delgada cuadrada, para este propósito nos auxiliaremos del artículo que habla del momento de inercia de una placa delgada rectangular en torno a un eje que pasa por el centro, perpendicular al plano de la placa rectangular, y para simplificar un poco los cálculos, usaremos el teorema de los ejes paralelos para el cálculo de la inercia de un eje situado en uno de los vértices de una placa cuadrada delgada con lado L.
El momento de inercia de una placa rectangular con lados \(a\)\(b\) que gira en torno a un eje que la atraviesa perpendicularmente por el centro es.
Inercia de una placa rectangular delgada en torno a un eje perpendicular al plano de la placa que pasa por su centro de masa
Ya conociendo el momento de inercia de una placa rectangular en torno a un eje que pasa por su centro de masa \({I}_{cm}\), y sabiendo por el teorema de pitágoras que la distancia \(d\), entre un eje situado en un vértice p de la placa rectangular, perpendicular a esta y un eje situado en el centro de masa, perpendicular a la placa, es.
Distancia entre dos ejes paralelos entre si, pero perpendiculares al plano de la placa
Sea \({I}_{p}\) la inercia de una placa en torno a un eje que pasa por el punto \(p\), y sea \({I}_{cm}\) la inercia de una placa en torno a un eje que pasa por el centro de masa de la placa, y además sea \(d\) la distancia que existe entre ambos ejes, entonces la inercia en un punto \(p\) viene dada por :
Teorema de los ejes paralelos en el momento de inercia
La siguiente gráfica muestra los ejes paralelos que pasan por el punto \(p\) y por el centro de masa \(cm\), y estos puntos están separados una distancia \(d\).
Ejes que son paralelos que pasan por el punto p y el centro de masa cm
Ahora estamos en condiciones de usar el teorema de los ejes paralelos, para calcular el momento de inercia de la placa rectangular en torno a un eje perpendicular a esta que pasa por el punto \(p\), para este propósito usaremos el teorema de los ejes paralelos como se muestra a continuación.
Inercia de un eje que pasa por p
Así que el momento de inercia de una placa rectangular delgada respecto a un eje que pasa por uno de sus vértices, siendo \(a\) y \(b\), sus respectivos ancho y largo de la placa, es:
Inercia de una placa rectangular en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa

Momento de inercia de una placa cuadrada delgada respecto a un eje que la atraviesa perpendicularmente por uno de sus vértices
Debemos decir que este momento de inercia que analizaremos ahora, es un caso especial del momento de inercia de una placa rectangular en torno a un eje que la atraviesa perpendicularmente por un vértice p, así que lo que haremos ahora para obtener el momento de inercia de una placa cuadrada es tomar \(a=b=L\) y hacer las sustituciones de lugar, 
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
El momento de inercia de una placa cuadrada delgada con lado \(L\), en torno a un eje que pasa por un vértice \(p\), perpendicular al plano de la placa, es:
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
Inercia de una placa cuadrada en torno a un eje que pasa por un vértice p, perpendicular al plano de la placa
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